Χορδή (γεωμετρία)

Το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ είναι μια χορδή του κύκλου.

Στην γεωμετρία, χορδή ενός κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου.

Απόστημα μιας χορδής σε έναν κύκλο είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το κέντρο του κύκλου με το μέσο της χορδής.

Το απόστημα ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$.

Μετρικές σχέσεις

Μήκος χορδής

Σε έναν κύκλο ακτίνας $\rho$, το μήκος μιας χορδής ενός τόξου με αντίστοιχη επίκεντρη γωνία

• $\theta$ ακτινίων έχει μήκος ${\ell }=2\rho \cdot \sin {\frac {\theta }{2}}$ και

• $\mu$ μοιρών έχει μήκος ${\ell }=2\rho \cdot \sin {\frac {\mu }{2}}$.

Μήκος αποστήματος

• Σε έναν κύκλο ακτίνας $\rho$, το απόστημα μίας χορδής μήκους $\ell$, έχει μήκος

$d={\sqrt {\rho ^{2}-\left({\tfrac {\ell }{2}}\right)^{2}}}$.

• Σε έναν κύκλο ακτίνας $\rho$, το απόστημα χορδής μήκους $\ell$ που αντιστοιχεί σε γωνία $\theta$ έχει μήκος

$d=\ell \cdot \cos {\tfrac {\theta }{2}}$.

Ιδιότητες

• Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.

Απόδειξη  

Σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές

($\Rightarrow$) Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ δύο ίσα του τόξα. Θεωρούμε τις ακτίνες ${\rm {OA}}$, ${\rm {OB}}$, ${\rm {O\Gamma }}$, ${\rm {O\Delta }}$ και τις χορδές ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ${\rm {OAB}}$ και ${\rm {O\Gamma \Delta }}$ είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$.

($\Leftarrow$) Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ${\rm {AB}}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$ σε κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$. Τα τρίγωνα ${\rm {OAB}}$ και ${\rm {O\Gamma \Delta }}$ που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ${\widehat {\rm {AOB}}}={\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}$ (ισότητα γωνιών) από όπου ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ (ισότητα τόξων).

• Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη  

Δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

($\Rightarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ίσες χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$. Φέρνουμε τα αποστήματα ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ και τις ακτίνες ${\rm {OA}}$ και ${\rm {O\Gamma }}$ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ${\rm {OKA}}$ και ${\rm {O\Lambda \Gamma }}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ θα είναι ίσες.

($\Leftarrow$) Έστω ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ χορδές σε έναν κύκλο $(\mathrm {O} ,\rho )$ με ίσα αποστήματα ${\rm {OK}}$ και ${\rm {O\Lambda }}$ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ${\rm {OA}}$ και ${\rm {O\Gamma }}$. Τα τρίγωνα ${\rm {OKA}}$ και ${\rm {O\Lambda \Gamma }}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με $\rho$. Έτσι και $\mathrm {AK} =\mathrm {\Gamma \Lambda }$, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.

• Ο φορέας του αποστήματος μίας χορδής είναι και μεσοκάθετός της.

Απόδειξη  

Το απόστημα χορδής ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$.

Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\rm {AB}}$ μία χορδή του. Το τρίγωνο ${\rm {OAB}}$ είναι ισοσκελές, καθώς ${\rm {OA=OB}}$. Άρα η διάμεσος του ${\rm {OM}}$ είναι και ύψος του τριγώνου, δηλαδή ${\rm {OM\perp AB}}$. Άρα ο φορέας του αποστήματος ταυτίζεται με τη μεσοκάθετο του ${\rm {AB}}$.

• Ο φορέας του αποστήματος μίας χορδής, διχοτομεί την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία και το αντίστοιχο τόξο.

Απόδειξη  

Το απόστημα ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$

Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\rm {AB}}$ μία χορδή του. Αν ${\rm {OM}}$ είναι το απόστημα της ${\rm {AB}}$ τότε τα τρίγωνα ${\rm {OMB}}$ και ${\rm {OMA}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη (την ${\rm {OM}}$) και τις υποτείνουσές τους ίσες (καθώς ${\rm {OA=OB}}$). Άρα ${\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}$ (ισότητα επίκεντρων γωνιών), δηλαδή ${\overset {\frown }{\rm {NA}}}={\overset {\frown }{\rm {NB}}}$ (ισότητα τόξων) και το ${\rm {N}}$ είναι το μέσο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$.

• Σε έναν κύκλο τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών του κύκλου είναι ίσα, και αντιστρόφως.

Ανισοτικές σχέσεις

• Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, αν δύο χορδές είναι άνισες τότε τα αποστήματά τους είναι άνισα και στην μεγαλύτερη χορδή αντιστοιχεί μικρότερο απόστημα και αντιστρόφως.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για την ανισοτική σχέση μεταξύ μήκους χορδής και αποστήματος.

($\Rightarrow$) Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\rm {AB}}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$ δύο χορδές του τέτοιες ώστε να είναι ${\rm {AB>\Gamma \Delta }}$. Φέρνουμε τα αποστήματα ${\rm {OE\perp AB}}$ και ${\rm {OZ\perp \Gamma \Delta }}$.Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {OE<OZ}}$.

Είναι ${\rm {AB>\Gamma \Delta }}$ άρα θα είναι και ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$.

Οι προεκτάσεις των ${\rm {OE}}$ και ${\rm {OZ}}$ τέμνουν τον κύκλο στα σημεία, έστω, ${\rm {H}}$ και ${\rm {\Theta }}$ αντίστοιχα.

Εκατέρωθεν του σημείου ${\rm {H}}$ παίρνουμε τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {H\Gamma '}}}={\overset {\frown }{\rm {\Theta \Gamma }}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {H\Delta '}}}={\overset {\frown }{\rm {\Theta \Delta }}}$, άρα είναι ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}={\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$.

Φέρνουμε την χορδή ${\rm {\Gamma '\Delta '}}$ και επειδή είναι ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}={\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ θα είναι και ${\rm {\Gamma '\Delta '={\rm {\Gamma \Delta }}}}$.

Επειδή είναι ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}={\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}<{\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ συνεπώς ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}<{\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ συμπεραίνουμε ότι το ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}$ είναι μέρος του ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$.

Τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}$ έχουν κοινό μέσο το σημείο ${\rm {H}}$ άρα η ${\rm {OH}}$ είναι κάθετη στις χορδές ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma '\Delta '}}$ που σημαίνει ότι είναι ${\rm {AB||{\rm {\Gamma '\Delta '}}}}$.

Είναι ${\rm {O\Lambda =OZ}}$ και ${\rm {OE<O\Lambda }}$ άρα ${\rm {OE<OZ}}$.

($\Leftarrow$) Έστω ότι είναι ${\rm {OE<OZ}}$. Θα αποδείξουμε ότι είναι ${\rm {AB>\Gamma \Delta }}$.

Στην ακτίνα ${\rm {OH}}$ παίρνουμε ${\rm {O\Lambda =OZ}}$ και στο σημείο ${\rm {\Lambda }}$ φέρνουμε την ${\rm {\Gamma '\Delta '||AB}}$.

Τότε το ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}$ είναι μέρος του ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και επομένως ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma '\Delta '}}}$ άρα και ${\rm {AB>\Gamma '\Delta '}}$.

Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ${\rm {AB>\Gamma \Delta }}$.

$\square$

• Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, σε άνισα τόξα αντιστοιχούν άνισες χορδές και στο μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί η μεγαλύτερη χορδή, εφ' όσον το τόξο δεν είναι μεγαλύτερο από το ημικύκλιο και αντιστρόφως.

Απόδειξη  

Μεγαλύτερη επίκεντρη γωνία αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη χορδή.

Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους $(\mathrm {O_{1}} ,\rho )$ και $(\mathrm {O_{2}} ,\rho )$.

($\Rightarrow$)Έστω τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{1}} ,\rho )$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{2}} ,\rho )$ τέτοια ώστε ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$. Θα αποδείξουμε ότι είναι ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$.

Επειδή είναι ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ θα είναι και ${\widehat {\rm {AO_{1}B}}}>{\widehat {\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AO_{1}B}}$ και ${\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}$ έχουν δύο πλευρές τους ίσες ${\rm {O_{1}A=O_{1}B=O_{2}\Gamma =O_{2}\Delta =\rho }}$ και τις περιεχόμενες γωνίες τους άνισες ${\widehat {\rm {AO_{1}B}}}>{\widehat {\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}}$ άρα είναι και ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$.

($\Leftarrow$)Έστω τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{1}} ,\rho )$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ στον κύκλο $(\mathrm {O_{2}} ,\rho )$ τέτοια ώστε ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$. Θα αποδείξουμε ότι είναι ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}>{\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AO_{1}B}}$ και ${\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}$ έχουν δύο πλευρές του ίσες ${\rm {O_{1}A=O_{1}B=O_{2}\Gamma =O_{2}\Delta =\rho }}$ και τις άλλες πλευρές τους άνισες ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ άρα έχουν τις περιεχόμενες των ίσων πλευρών γωνίες τους άνισες δηλαδή είναι ${\widehat {\rm {AO_{1}B}}}>{\widehat {\rm {\Gamma O_{2}\Delta }}}$.$\quad \square$

• Κάθε χορδή ενός κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

Σχετικές έννοιες

Ο φορέας μίας χορδής ενός κύκλου λέγεται τέμνουσα του κύκλου.

Χορδή επαφών είναι η χορδή που συνδέει τα σημεία επαφής δυο εφαπτομένων που φέρονται από ένα εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Κοινή χορδή δύο κύκλων λέγεται η μοναδική χορδή που είναι κοινή σε δύο τεμνόμενους κύκλους.

Τέμνουσα ενός κύκλου

Χορδή επαφών

Κοινή χορδή

Δείτε επίσης

• Τόξο (γεωμετρία)
• Κύκλος
• Ευθεία τέμνουσα κύκλου
• Θεώρημα των τριών χορδών