Δακτύλιος (μαθηματικά)

Ένας δακτύλιος είναι η περιοχή μεταξύ δύο κύκλων (εδώ ο μεγάλος έχει ακτίνα $R$ και ο μικρός ακτίνα $r$.

Απεικόνιση της μεθόδου οπτικού υπολογισμού του Μαμικόν που δείχνει ότι τα εμβαδά δύο δακτυλίων με το ίδιο μήκος χορδής είναι τα ίδια ανεξάρτητα από την εσωτερική και την εξωτερική ακτίνα.

Στην γεωμετρία, ο δακτύλιος (επίσης κυκλικός δακτύλιος ή κυκλική στεφάνη) είναι η περιοχή μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων.

Πιο συγκεκριμένα, ο δακτύλιος είναι το γεωμετρικό σχήμα που προκύπτει από την διαφορά $C_{R}\setminus C_{r}$, όπου αν $C_{R}$ είναι ο κλειστός κυκλικός δίσκος με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $R$, και $C_{r}$ ο ανοικτός κυκλικός δίσκος με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $r$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός δακτυλίου είναι ίσο με η διαφορά των εμβαδών του μεγαλύτερου κύκλου ακτίνας R και του μικρότερου κύκλου ακτίνας r:

${\rm {E}}=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)$.

Απόδειξη με ολοκλήρωση  

Διαιρώντας τον δακτύλιο σε έναν άπειρο αριθμό δακτυλίων με απειροελάχιστο πλάτος $d\rho$ και με εμβαδόν $2\pi \rho d\rho$ και ολοκληρώνοντας από $\rho =r$ έως $\rho =R$, λαμβάνουμε

${\rm {E}}=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)$.

Ως επακόλουθο του τύπου της χορδής, το εμβαδόν που οριοθετείται από τον περιγεγραμμένο κύκλο και τον εγγεγραμμένο κύκλο κάθε μοναδιαίου κυρτού κανονικού πολυγώνου είναι π/4

Το εμβαδόν ενός δακτυλίου δίνεται επίσης από τον τύπο

${\rm {E}}=\pi d^{2}$,

όπου $2d$ το μήκος της χορδής του μεγάλου κύκλου που εφάπτεται στον μικρό κύκλο.

Απόδειξη  

Η κοινή χορδή μήκους $2d$.

Aφού η χορδή εφάπτεται στον μικρότερο κύκλο, η χορδή είναι κάθετη στην ακτίνα του σε αυτό το σημείο, οπότε οι $d$ και $r$ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $R$. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, ισχύει ότι

$R^{2}=d^{2}+r^{2}$,

άρα από τον προηγούμενο τύπο προκύπτει ότι το εμβαδόν του δακτυλίου δίνεται από την σχέση

${\rm {E}}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.$

Ιδιότητες

• Υπάρχει τοπολογικος ισομορφισμός μεταξύ του ανοιχτού δακτυλίου και του κύλινδρο S¹ × (0,1) καθώς και με το διάτρητο επίπεδο.

Αναλυτική γεωμετρία

Στην αναλυτική γεωμετρία, ο δακτύλιος μεταξύ δύο κύκλων με κέντρο το ${\rm {O}}$ και ακτίνες $r<R$ δίνεται από το σύνολο των εξής σημείων στο Καρτεσιανό επίπεδο $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$,

$A=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} :r\leq (x-{\rm {O}}_{x})^{2}+(y-{\rm {O}}_{y})^{2}\leq R\right\}$.

Μιγαδική ανάλυση

Στην μιγαδική ανάλυση ένας δακτύλιος ann(a; r, R) στο μιγαδικό επίπεδο είναι μια ανοικτή περιοχή που ορίζεται ως

$r\leq |z-a|\leq R$.

Αν r είναι 0, η περιοχή είναι γνωστή ως διάτρητος δίσκος (ένας δίσκος με μια σημειακή οπή στο κέντρο) ακτίνας R γύρω από το σημείο a.

Ως υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου, ένας δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως επιφάνεια Ρίμαν. Η μιγαδική δομή ενός δακτυλίου εξαρτάται μόνο από τον λόγο r/R. Κάθε δακτύλιος ann(a'; r, R) μπορεί να απεικονιστεί ολόμορφα σε έναν τυπικό δακτύλιο με κέντρο την αρχή και εξωτερική ακτίνα 1 μέσω του χάρτη

$z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.$

Η εσωτερική ακτίνα είναι τότε r/R < 1.

Το θεώρημα των τριών κύκλων του Χαντάμαρ είναι μια δήλωση σχετικά με τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει μια ολομορφική συνάρτηση μέσα σε ένα δακτύλιο.

Ο μετασχηματισμός Τζουκόφσκι απεικονίζει συμμορφικά έναν δακτύλιο σε μια έλλειψη με μια σχισμή που κόβεται μεταξύ των εστιών.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Edwards, Robert D. (1984), «The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (after Frank Quinn)», Four-manifold theory (Durham, N.H., 1982), Contemp. Math., 35, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 211–264, doi:10.1090/conm/035/780581, ISBN 9780821850336 
• Kirby, Robion C. (1969), «Stable homeomorphisms and the annulus conjecture», Annals of Mathematics, Second Series 89 (3): 575–582, doi:10.2307/1970652, ISSN 0003-486X 
• Torrens, A B (1 January 1986). «On Angles and Angular Quantities». Metrologia 22 (1): 1–7. doi:10.1088/0026-1394/22/1/002. Bibcode: 1986Metro..22....1T. https://archive.org/details/sim_metrologia_1986-01_22_1/page/n1. 
• Brownstein, K. R. (July 1997). «Angles—Let's treat them squarely». American Journal of Physics 65 (7): 605–614. doi:10.1119/1.18616. Bibcode: 1997AmJPh..65..605B. 
• Le Calvez, Patrice. Dynamical Properties of Diffeomorphisms of the Annulus and of the Torus. 

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Ομόκεντροι κύκλοι