Συμμετροδιάμεσος τριγώνου

Η συμμετροδιάμεσος ${\rm {A\Sigma _{\alpha }}}$ και η διάμεσος ${\rm {AM_{\alpha }}}$ της κορυφής ${\rm {A}}$ στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$.

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η συμμετροδιάμεσος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\rm {A}}$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Sigma _{\alpha }}}$, όπου ${\rm {\Sigma _{\alpha }}}$ είναι σημείο της ${\rm {B\Gamma }}$ ώστε ${\widehat {\rm {BA\Sigma _{\alpha }}}}={\widehat {\rm {\Gamma AM_{\alpha }}}}$, και ${\rm {M_{\alpha }}}$ το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$.

Ισοδύναμα, μπορεί να οριστεί ως η συμμετρική ευθεία της διαμέσου που αντιστοιχεί σε μία κορυφή ως προς την διχοτόμο της.

Ιδιότητες

Το σημείο Λεμουάν ${\rm {K}}$ όπου συντρέχουν οι συμμετροδιάμεσοι ενός τριγώνου.

• (Συμμετροδιάμεσο σημείο) Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ οι συμμετροδιάμεσοι ${\rm {A\Sigma _{\alpha },B\Sigma _{\beta },\Gamma \Sigma _{\gamma }}}$ συντρέχουν.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Κατασκευή συμμετροδιαμέσου  

← Προηγούμενο βήμα ← Προηγούμενο βήμα Επόμενο βήμα → Επόμενο βήμα → 1

Η συμμετροδιάμεσος μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη με τα εξής βήματα:

1. Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο ${\rm {A}}$ και ακτίνα ${\rm {AB}}$, και ορίζουμε ${\rm {B'}}$ το σημείο που τέμνει την ${\rm {A\Gamma }}$ (στην ημιευθεία που περιέχει το ${\rm {\Gamma }}$).
2. Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο ${\rm {A}}$ και ακτίνα ${\rm {A\Gamma }}$, και ορίζουμε ${\rm {\Gamma '}}$ το σημείο που τέμνει την ${\rm {AB}}$ (στην ημιευθεία που περιέχει το ${\rm {B}}$).
3. Κατασκευάζουμε το μέσο ${\rm {M'}}$ της ${\rm {B'\Gamma '}}$.
4. Βρίσκουμε το σημείο τομής ${\rm {\Sigma _{\alpha }}}$ της ${\rm {AM'}}$ με την ${\rm {B\Gamma }}$.
5. Το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Sigma _{\alpha }}}$ είναι η συμμετροδιάμεσος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\rm {A}}$.

Δείτε ολόκληρη την κατασκευή

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης κατασκευής συμμετροδιαμέσου.

Τα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A'B'\Gamma '}}$ έχουν

• ${\rm {AB=AB'}}$,
• ${\rm {A\Gamma =A\Gamma '}}$, και
• ${\hat {\rm {A}}}$ κοινή.

Επομένως, από το κριτήριο ισότητας (πλευράς-γωνίας-πλευράς) είναι ίσα.

Έστω ${\rm {\Delta }}$ το σημείο τομής των ${\rm {B\Gamma }}$ και ${\rm {B'\Gamma '}}$. Τότε η ${\rm {A\Delta }}$ είναι άξονας συμμετρίας των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A'B'\Gamma '}}$, και λόγω συμμετρίας ${\widehat {\rm {BA\Delta }}}={\widehat {\rm {B'A\Delta }}}$ είναι η ${\rm {A\Delta }}$ είναι και η εσωτερική διχοτόμος της ${\rm {A}}$. Άρα το σημείο ${\rm {M'}}$ είναι το συμμετρικό του μέσου ${\rm {M}}$ του ${\rm {B\Gamma }}$. Συνεπώς, η ${\rm {A\Sigma _{\alpha }}}$ είναι η συμμετρική της διαμέσου ${\rm {AM}}$ ως προς την διχοτόμο ${\rm {A\Delta }}$, δηλαδή η συμμετροδιάμεσος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\rm {A}}$.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Διχοτόμος γωνίας
• Συμμετροδιάμεσο σημείο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ιδιότητες συμμετροδιαμέσου στο Γεωμετρικόν
• Ιδιότητες συμμετροδιαμέσου στο Cut The Knot