Ισοσκελές τρίγωνο

Ισοσκελές τρίγωνο με $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$ και ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$.

Η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της ${\rm {A}}$ ταυτίζονται.

Στην γεωμετρία, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές (και δύο γωνίες) είναι ίσες μεταξύ τους.

Για παράδειγμα, στο σχήμα το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ έχει τις πλευρές $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$, τις γωνίες ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ και επομένως είναι ισοσκελές. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων είναι ότι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της κορυφής $\mathrm {A}$ ταυτίζονται.

Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες.

Ιδιότητες

Στα ισοσκελή τρίγωνα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για το ευθύ.

($\Rightarrow$) Έστω ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {A\Delta }$ η διχοτόμος της γωνίας ${\hat {\mathrm {A} }}$. Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma \Delta }$ έχουν $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$, την πλευρά $\mathrm {A\Delta }$ κοινή και τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {BA\Delta } }}$ και ${\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}$ ίσες. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα δύο τρίγωνα είναι ίσα και επομένως θα είναι ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ (ισότητα γωνιών).

Σχήμα απόδειξης για το αντίστροφο.

($\Leftarrow$) Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ και $\mathrm {AH}$ το ύψος του τριγώνου από την κορυφή $\mathrm {A}$. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AHB}$ και $\mathrm {AH\Gamma }$ έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες και μία αντίστοιχη πλευρά κοινή (την ${\rm {AH}}$). Σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα τρίγωνα είναι ίσα και επομένως είναι $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$, δηλαδή το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ισοσκελές.

• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB=A\Gamma }}$ η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος που αντιστοιχούν στην κορυφή ${\rm {A}}$ ταυτίζονται.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα ${\rm {AHB}}$ και ${\rm {AH\Gamma }}$ είναι .

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με ${\rm {AB=A\Gamma }}$. Από την προηγούμενη ιδιότητα, έχουμε ότι ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$. Έστω $\mathrm {AH}$ το ύψος του τριγώνου από την κορυφή $\mathrm {A}$. Θα αποδείξουμε ότι είναι επίσης διάμεσος και διχοτόμος του.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AHB}$ και $\mathrm {AH\Gamma }$ έχουν

• δύο οξείες γωνίες ίσες (τις ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$) και
• μία αντίστοιχη πλευρά κοινή (την ${\rm {AH}}$).

Σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα τρίγωνα είναι ίσα και επομένως είναι

• $\mathrm {AH} =\mathrm {HB}$, δηλαδή ${\rm {AH}}$ διάμεσος, και
• ${\widehat {\rm {BAH}}}={\widehat {\rm {HA\Gamma }}}$, δηλαδή ${\rm {AH}}$ διχοτόμος.

• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι οξείες.

Απόδειξη  

Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB=A\Gamma }$ και ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$. Το άθροισμα των γωνιών είναι $180^{\circ }$ επομένως,

${\widehat {\rm {A}}}+{\widehat {\rm {B}}}+{\widehat {\rm {\Gamma }}}={\widehat {\rm {A}}}+2\cdot {\widehat {\rm {B}}}=180^{\circ }$.

Επίσης κάθε γωνία είναι μη-μηδενική, επομένως

$0<{\widehat {\rm {A}}}=180^{\circ }-2\cdot {\widehat {\rm {B}}}$,

δηλαδή

$2\cdot {\widehat {\rm {B}}}<180^{\circ }$

${\widehat {\rm {B}}}<90^{\circ }$.

Επομένως, οι ${\widehat {\rm {B}}}$ και ${\widehat {\rm {\Gamma }}}$ είναι οξείες.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και ύψος.

Απόδειξη  

Ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με το ύψος του $\mathrm {A\Delta }$.

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB=A\Gamma }$, τότε σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα το ύψος του $\mathrm {A\Delta }$ είναι και διχοτόμος της γωνίας ${\widehat {\rm {A}}}$.

($\Leftarrow$) Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ στο οποίο η διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ της γωνίας ${\hat {\mathrm {A} }}$ είναι και ύψος του τριγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma \Delta }$ έχουν:

• μία κάθετη πλευρά κοινή (την $\mathrm {A\Delta }$),
• δύο οξείες γωνίες ίσες (τις ${\widehat {\rm {BA\Delta }}}={\widehat {\rm {\Gamma A\Delta }}}$0.

Συνεπώς είναι ίσα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία ίσα. Άρα είναι $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$. Δηλαδή το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ισοσκελές. $\square$

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και διάμεσος.

Απόδειξη  

Οι προβολές του ${\rm {\Delta }}$ στις ${\rm {AB}}$ και ${\rm {A\Gamma }}$.

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB=A\Gamma }$, τότε σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα η διχοτόμος της γωνίας ${\widehat {\rm {A}}}$ είναι και διάμεσος.

($\Leftarrow$) Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ στο οποίο η διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ της γωνίας ${\hat {\mathrm {A} }}$ είναι και διάμεσος του τριγώνου. Από το μέσο $\mathrm {\Delta }$ της πλευράς $\mathrm {B\Gamma }$ φέρνουμε τις κάθετες $\mathrm {\Delta E}$ και $\mathrm {\Delta Z}$ προς τις πλευρές $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$ αντίστοιχα. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {B\Delta E}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta Z}$ έχουν

• τις υποτείνουσές τους ίσες ($\mathrm {B\Delta } =\mathrm {\Delta \Gamma }$), διότι το σημείο $\mathrm {\Delta }$ είναι μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$, και
• δύο κάθετες πλευρές ίσες ($\mathrm {\Delta E} =\mathrm {\Delta Z}$), διότι το σημείο $\mathrm {\Delta }$ είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας ${\widehat {\rm {A}}}$ άρα ισαπέχει από τις πλευρές της.

Συνεπώς τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα και έχουν ${\widehat {\rm {A}}}={\widehat {\rm {B}}}$. Δηλαδή το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ισοσκελές. $\square$

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διάμεσός του είναι και ύψος.

Απόδειξη  

Ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με το ύψος του $\mathrm {A\Delta }$.

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB=A\Gamma }$, τότε σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα η διάμεσος $\mathrm {A\Delta }$ είναι και ύψος του τριγώνου.

($\Leftarrow$) Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ στο οποίο η διάμεσος $\mathrm {A\Delta }$ είναι και ύψος του τριγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma \Delta }$ έχουν

• μία κάθετη πλευρά κοινή (την $\mathrm {A\Delta }$), και
• δύο κάθετες πλευρές ίσες (τις ${\rm {B\Delta }}={\rm {\Gamma \Delta }}$), διότι το σημείο $\mathrm {\Delta }$ είναι μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$.

Συνεπώς, είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία ίσα. Άρα είναι $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$. Δηλαδή το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ισοσκελές. $\square$

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο ύψη του είναι ίσα.

Απόδειξη  

Τα τρία ύψη ενός ισοσκελούς τριγώνου.

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB=A\Gamma }$, φέρνουμε τα ύψη του $\mathrm {BE}$ και $\mathrm {\Gamma Z}$. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {ABE}$ και $\mathrm {A\Gamma Z}$ έχουν

• τις υποτείνουσές τους ίσες ($\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$), και
• την γωνία ${\widehat {\rm {A}}}$ κοινή.

Συνεπώς είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία ίσα. Άρα είναι $\mathrm {BE} =\mathrm {\Gamma Z}$. Δηλαδή το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ έχει δύο ύψη ίσα.

($\Leftarrow$) Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ το οποίο έχει δύο ύψη ίσα $\mathrm {BE} =\mathrm {\Gamma Z}$. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {ABE}$ και $\mathrm {A\Gamma Z}$ έχουν

• δύο κάθετες ίσες ($\mathrm {BE} =\mathrm {\Gamma Z}$), και
• την γωνία ${\widehat {\rm {A}}}$ κοινή.

Συνεπώς είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία ίσα. Άρα είναι $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$. Δηλαδή το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ισοσκελές. $\square$

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διάμεσοι είναι ίσες.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB=A\Gamma }$, φέρνουμε τις διαμέσους του $\mathrm {BE}$ και $\mathrm {\Gamma Z}$. Τότε τα τρίγωνα $\mathrm {ABE}$ και $\mathrm {A\Gamma Z}$ έχουν

• τις πλευρές $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$ ίσες,
• την γωνία ${\widehat {\rm {A}}}$ κοινή, και
• τις πλευρές $\mathrm {BE} =\mathrm {\Gamma Z}$ (ως ίσα με το μισό των ίσων πλευρών $\mathrm {AB=A\Gamma }$).

Συνεπώς είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία ίσα. Άρα είναι $\mathrm {BE} =\mathrm {\Gamma Z}$. Δηλαδή το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ έχει δύο διαμέσους του ίσες.

Το βαρύκεντρο ενός ισοσκελούς τριγώνου.

($\Leftarrow$) Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ το οποίο έχει τις δύο διαμέσους του $\mathrm {BE}$ και $\mathrm {\Gamma Z}$ ίσες. Φέρνουμε και την τρίτη διάμεσο $\mathrm {A\Delta }$ και έστω $\mathrm {G}$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$. Το τρίγωνο $\mathrm {BG\Gamma }$ είναι ισοσκελές διότι έχει τις πλευρές $\mathrm {BG}$ και $\mathrm {\Gamma G}$ ίσες μεταξύ τους διότι είναι ίσες με τα 2/3 των ίσων διαμέσων. Συνεπώς η $\mathrm {G\Delta }$ είναι διάμεσος και ύψος του τριγώνου $\mathrm {BG\Gamma }$ άρα και η διάμεσος $\mathrm {A\Delta }$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι και ύψος του. Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ισοσκελές. $\square$

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία εξωτερική διχοτόμος μίας γωνίας του είναι παράλληλη προς την απέναντι πλευρά.

Απόδειξη  

Η εξωτερική διχοτόμος της κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι παράλληλη στη βάση της.

($\Rightarrow$) Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB=A\Gamma }}$, ${\rm {{\widehat {B}}={\widehat {\Gamma }}}}$ και την διχοτόμο ${\rm {A}}\delta$ της εξωτερικής γωνίας ${\rm {\widehat {A}}}$ του τριγώνου.

Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {A}}\delta ||{\rm {B\Gamma }}$.

Η ${\rm {A}}\delta$ χωρίζει την ${\widehat {{\rm {\Gamma A}}x}}$ σε δύο ίσες γωνίες ${\rm {\varphi =\omega }}$.

Είναι ${\widehat {{\rm {\Gamma A}}x}}={\widehat {\rm {B}}}+{\widehat {\rm {\Gamma }}}$ ως εξωτερική του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και επειδή είναι ${\rm {{\widehat {B}}={\widehat {\Gamma }}}}$ έπεται ότι είναι ${\widehat {\rm {\Gamma }}}={\frac {\widehat {{\rm {\Gamma A}}x}}{2}}=\varphi$.

Οι ${\rm {A}}\delta$ και ${\rm {B\Gamma }}$ τεμνόμενες από την ${\rm {A\Gamma }}$ σχηματίζουν τις εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες, άρα είναι παράλληλες.

($\Leftarrow$) Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και την διχοτόμο ${\rm {A}}\delta$ της εξωτερικής γωνίας ${\rm {\widehat {A}}}$ του τριγώνου η οποία είναι παράλληλη προς την πλευρά ${\rm {B\Gamma }}$ του τριγώνου.

Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ισοσκελές.

Η ${\rm {A}}\delta$ χωρίζει την ${\widehat {{\rm {\Gamma A}}x}}$ σε δύο ίσες γωνίες ${\rm {\varphi =\omega }}$.

(1)

Είναι ${\widehat {\rm {B\Gamma A}}}={\rm {\varphi }}$, ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων ${\rm {A}}\delta ||B\Gamma$ που τέμνονται από την ${\rm {A\Gamma }}$.

(2)

Είναι ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}={\rm {\omega }}$, ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων${\rm {A}}\delta ||{\rm {B\Gamma }}$ που τέμνονται από την ${\rm {B}}x$.

(3)

Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι είναι ${\widehat {\rm {B\Gamma A}}}={\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ δηλαδή το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ισοσκελές.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία εξωτερική διχοτόμος μίας γωνίας του είναι παράλληλη προς την απέναντι πλευρά.

$\square$

• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η ευθεία Όιλερ του τριγώνου, ταυτίζεται με την ευθεία του ύψους $\mathrm {A\Delta }$ προς την βάση $\mathrm {B\Gamma }$ και εκτός του περίκεντρου, ορθόκεντρου και βαρυκέντρου περιλαμβάνει και το έγκεντρο του τριγώνου.

Απόδειξη  

Ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με το ύψος του $\mathrm {A\Delta }$.

Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB=A\Gamma }$, τότε σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα η διάμεσος $\mathrm {A\Delta }$ είναι ύψος, διχοτόμος και μεσοκάθετος του τριγώνου. Άρα το περίκεντρο, το ορθόκεντρο, το βαρυκέντρο και το έγκεντρο του τριγώνου βρίσκονται στην ευθεία του ύψους του $\mathrm {A\Delta }$. $\square$

• (Θεώρημα Steiner–Lehmus) Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διχοτόμοι είναι ίσες.

Μετρικές σχέσεις

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {\beta }$ και $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {\alpha }$, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:

• Το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$ δίνεται από

$\upsilon _{\alpha }={\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}$,

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για τον τύπο του ύψους.

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {AH}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$. Σύμφωνα με τις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου το ύψος $\mathrm {AH}$ είναι και διάμεσος, άρα $\mathrm {BH} =\mathrm {\Gamma H} ={\tfrac {\alpha }{2}}$. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {ABH}$ από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι

$\mathrm {\upsilon } _{\alpha }^{2}=\mathrm {AB} ^{2}-\mathrm {HB} ^{2}\Rightarrow \upsilon _{a}={\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}$.

• Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {E} ={\tfrac {\alpha }{2}}\cdot \upsilon _{\alpha }={\tfrac {\alpha }{2}}\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}$ και $\mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha ^{2}\cdot \sin \varphi$,

όπου $\varphi$ η γωνία προσκείμενη στη βάση $\alpha$.

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο

$R={\frac {\beta ^{2}}{2{\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα για την απόδειξη για τον τύπο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε ότι

$R={\frac {\beta }{2\sin {\hat {\mathrm {B} }}}}.$

Έστω ${\rm {AH}}$ το ύψος του τριγώνου. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {AHB}}$, έχουμε ότι

$\sin {\hat {\mathrm {B} }}={\frac {\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}{2\beta }}.$

Συνδυάζοντας τις παραπάνω δύο σχέσεις λαμβάνουμε το ζητούμενο.

• Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου με μία πλευρά πάνω στην βάση του τριγώνου είναι

$S={\frac {\alpha \cdot \upsilon _{\alpha }}{\alpha +\upsilon _{\alpha }}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για το τετράγωνο εγγεγραμμένο σε ένα ισοσκελές τρίγωνο.

Έστω το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$ και το εγγεγραμμένο σε αυτό τετράγωνο $\mathrm {\Delta EZH}$ με την πλευρά $\mathrm {\Delta E}$ πάνω στην βάση του τριγώνου και τις κορυφές $\mathrm {Z,H}$ πάνω στις πλευρές $\mathrm {A\Gamma ,AB}$ αντίστοιχα.

Καθώς το ${\rm {\Delta EZH}}$ είναι τετράγωνο, έπεται ότι η ${\rm {HZ}}$ είναι παράλληλη στην ${\rm {B\Gamma }}$, και οι γωνίες ${\widehat {\rm {AHZ}}}={\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\widehat {\rm {AZH}}}={\widehat {\rm {A\Gamma B}}}$ ως εντός-εκτός και επί ταυτά. Επομένως, το ${\rm {AHZ}}$ είναι ισοσκελές.

Χαράζουμε το ύψος $\mathrm {\upsilon _{\alpha }}$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$ και έστω $\mathrm {K,\Lambda }$ τα σημεία τομής του με τις $\mathrm {HZ}$ και $\mathrm {B\Gamma }$. Από τις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου γνωρίζουμε ότι το σημείο $\mathrm {\Lambda }$ είναι το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$ και το σημείο $\mathrm {K}$ είναι μέσο της $\mathrm {HZ}$.

Αν ονομάσουμε $S$ την πλευρά του τετραγώνου και $\alpha$ την βάση $\mathrm {B\Gamma }$ του τριγώνου τότε είναι $\mathrm {AK} =\upsilon _{\alpha }-S$ και $\mathrm {\Lambda \Gamma ={\frac {\alpha }{2}}}$. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AKZ}$ και $\mathrm {A\Lambda \Gamma }$ έχουμε:

${\frac {\rm {AK}}{\rm {A\Lambda }}}={\frac {\rm {KZ}}{\rm {\Lambda \Gamma }}}$, δηλαδή ${\frac {\upsilon _{\alpha }-S}{\upsilon _{\alpha }}}={\frac {S/2}{\alpha /2}}$

και με χιαστή γινόμενα παίρνουμε

$\alpha \cdot \upsilon _{\alpha }-\alpha \cdot S=S\cdot \upsilon _{\alpha }$

Λύνοντας ως προς $S$ καταλήγουμε ότι $S={\frac {\alpha \cdot \upsilon _{\alpha }}{\alpha +\upsilon _{\alpha }}}$.

$\square$

Το θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα λέει ότι $d_{1}+d_{2}=\upsilon$.

• (Θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα) Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma }$ και ένα σημείο $\mathrm {P}$ της $\mathrm {B\Gamma }$. Αν $d_{1}$ και $d_{2}$ είναι οι αποστάσεις του $\mathrm {P}$ από τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$, και $\upsilon$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$, τότε

$d_{1}+d_{2}=\upsilon$.

Ειδικά ισοσκελή τρίγωνα

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι προσκείμενες στην υποτείνουσα γωνίες είναι 45°.
• Αν $x$ το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος $x{\sqrt {2}}$ .
• Το εμβαδόν του είναι $\mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}x^{2}$.
• Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το $\mathrm {AB\Delta \Gamma }$ στο σχήμα).

Ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
• Όλες οι γωνίες είναι $60^{\circ }$.
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι $\mathrm {E} ={\tfrac {x{\sqrt {3}}}{4}}$, όπου $x$ το μήκος των πλευρών.

Τρίγωνο με γωνίες 30-30-120

Ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με γωνία ${\hat {\mathrm {A} }}=120^{\circ }$ και ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=30^{\circ }$.

To ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με γωνίες ${\hat {\mathrm {A} }}=120^{\circ }$ και ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=30^{\circ }$ έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες αρκετές από τις οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι μπορεί να χωριστεί σε τρία τρίγωνα εκ των οποίων το ένα είναι ισόπλευρο και τα άλλα δύο είναι ισοσκελή και όμοια με το αρχικό.

Χρυσό τρίγωνο

Το χρυσό τρίγωνο με γωνίες ${\hat {\mathrm {A} }}=36^{\circ }$ και ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=72^{\circ }$.

Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε δύο ισοσκελή τρίγωνα.

Το χρυσό τρίγωνο είναι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές $\varphi ,\varphi ^{2}$ και $\varphi ^{2}$, όπου $\varphi$ η χρυσή τομή. Το τρίγωνο αυτό είναι το ένα δέκατο ενός δεκαγώνου. Έχει διάφορες ιδιότητες, όπως το ότι μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

Τρίγωνο με γωνίες 80-80-20

Ισοσκελές τρίγωνο με ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=80^{\circ }$.

Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

Το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με γωνίες ${\hat {\mathrm {A} }}=20^{\circ }$ και ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=80^{\circ }$ έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μία από αυτές είναι η ιδιότητα ότι υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με πλευρά ίση με την βάση του.

Ισοσκελή τρίγωνα τα οποία μπορούν να διαιρεθούν σε περαιτέρω ισοσκελή τρίγωνα έχουν μελετηθεί γενικότερα στην βιβλιογραφία.

Περαιτέρω θέματα

Χορδή $\mathrm {AB}$ του κύκλου με κέντρο το $\mathrm {O}$.

Χορδή κύκλου

Οι μετρικές σχέσεις μίας χορδής $\mathrm {AB}$ (για παράδειγμα η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου) προκύπτουν θεωρώντας το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {OAB}$, όπου $\mathrm {OA} =\mathrm {OB}$ ως ακτίνες του κύκλου.

Διαίρεση τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα

Διαίρεση οξυγώνιου τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα.

Ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ μπορεί να χωριστεί σε τρία ισοσκελή τρίγωνα, χρησιμοποιώντας το κέντρο $\mathrm {O}$ του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ρόμβος

Οι διάγωνιοι ενός ορθογωνίου το χωρίζουν σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

Κάθε μία από τις διαγώνιους ενός ρόμβου τον χωρίζει σε δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες και διχοτομούνται, επομένως δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, τα $\mathrm {ABO} ,\mathrm {B\Gamma O} ,\mathrm {\Gamma \Delta O}$ και $\mathrm {\Delta AO}$.

Αντίστοιχα, σε έναν ρόμβο κάθε μία από τις διαγώνιους του τον χωρίζει σε δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Πλακοστρώσεις

Πλακόστρωση tetrakis

Πλακόστρωση triakis

Ορισμένα ισοσκελή τρίγωνα χρησιμοποιούνται για να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως η πλακόστρωση tetrakis που χρησιμοποιεί ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ή η πλακόστρωση triakis που χρησιμοποιεί τα ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες 30-30-120.

Εφαρμογές

Σημαία της Γουιάνας

Σημαία της Αγίας Λουκίας

Γραφιστική

Οι σημαίες κάποιων χωρών, καθώς και τα σήματα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών έχουν ισοσκελή τρίγωνα για αισθητικούς λόγους.

Αρχιτεκτονική/Μηχανική

Ισοσκελές τρίγωνο στην Παναγία των Παρισίων.

Οι γέφυρες ζευκτών τύπου Howe και Pratt.

Στην αρχιτεκτονική και την μηχανική το ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιείται σε αρκετές κατασκευές. Για παράδειγμα, το σχήμα των στεγών, στις διατάξεις των δοκών στις γέφυρες και σε τμήματα εκκλησιών.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών
• Ισόπλευρο τρίγωνο
• Ισοσκελές τραπέζιο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή ενός ισοσκελούς τριγώνου με δοσμένες πλευρές στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για το ύψος, την διάμεσο και την διχοτόμο ενός ισοσκελούς τριγώνου στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για το ισοσκελές τρίγωνο στο Geogebra.

Ελληνικά άρθρα

• Λ. Θεοδώρου (1983). «Από την αξονική συμμετρία στις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου». Ευκλείδης Α΄ (3): 15-17. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1521.