Θεώρημα πεταλούδας

Στην γεωμετρία, το θεώρημα της πεταλούδας αφορά τρεις τεμνόμενες χορδές σε έναν κύκλο.^[1]^[2]^[3]^:78^[4]^[5]

Έστω

{\rm {M}}

το μέσο μιας χορδής

{\rm {K\Lambda }}

ενός κύκλου, από το οποίο διέρχονται δύο άλλες χορδές

{\rm {AB}}

και

{\rm {\Gamma \Delta }}

, και έστω

{\rm {X}}

και

{\rm {Y}}

τα σημεία τομής των

{\rm {A\Delta }}

και

{\rm {B\Gamma }}

με τη χορδή

{\rm {K\Lambda }}

αντίστοιχα. Τότε,

{\rm {M}}

είναι επίσης το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος

{\rm {XY}}

.

Απόδειξη

Η πιο κοινή απόδειξη του θεωρήματος είναι η εξής:^[6]

Θεωρούμε τις κάθετες ${\rm {XX'}}$ και ${\rm {XX''}}$ από το ${\rm {X}}$ στις ευθείες ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ αντίστοιχα. Επίσης, θεωρούμε τις κάθετες ${\rm {YY'}}$ και ${\rm {YY''}}$ από το ${\rm {Y}}$ στις ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {MXX'}}$ και ${\rm {MYY',}}$ είναι όμοια καθώς έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες ${\widehat {\rm {XMX'}}}={\widehat {\rm {YMY'}}}$ ως κατακορυφήν. Επομένως,

${\rm {{MX \over MY}={XX' \over YY'}}}$ .

(1)

Αντίστοιχα, από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {MXX''}}$ και ${\rm {MYY''}}$ έχουμε ότι

${\rm {{MX \over MY}={XX'' \over YY''}}}$ .

(2)

Επίσης, τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {AXX'}}$ και ${\rm {\Gamma YY''}}$ είναι όμοια καθώς έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες ${\widehat {\rm {\Delta AB}}}={\widehat {\rm {B\Gamma \Delta }}}$ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως,

${\rm {{XX' \over YY''}={AX \over \Gamma Y}}}$ .

(3)

Αντίστοιχα, τα τρίγωνα ${\rm {\Delta XX''}}$ και ${\rm {BYY'}}$ είναι όμοια, επομένως

${\rm {{XX'' \over YY'}={\Delta X \over BY}}}$ .

(4)

Συνδυάζοντας τις προηγούμενες σχέσεις και το θεώρημα τεμνόμενων χορδών έχουμε

{\rm {\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}\cdot {XX'' \over YY''}}}

(πολλαπλασιάζοντας την (1) με την (2))

{\rm {{\phantom {\left({MX \over MY}\right)^{2}}}={AX\cdot \Delta X \over \Gamma Y\cdot BY}}}

(χρησιμοποιώντας την (3) και την (4))

{\rm {{\phantom {\left({MX \over MY}\right)^{2}}}={KX\cdot \Lambda X \over KY\cdot \Lambda Y}}}

(χρησιμοποιώντας το θεώρημα τεμνόμενων χορδών στα σημεία

{\rm {X}}

και

{\rm {Y}}

)

{\rm {{\phantom {\left({MX \over MY}\right)^{2}}}={(KM-XM)\cdot (\Lambda M+XM) \over (KM+MY)\cdot (\Lambda M-MY)}}}

{\rm {{\phantom {\left({MX \over MY}\right)^{2}}}={(KM-XM)\cdot (KM+XM) \over (\Lambda M+MY)\cdot (\Lambda M-MY)}}}

(καθώς

{\rm {KM=\Lambda M}}

)

{\rm {{\phantom {\left({MX \over MY}\right)^{2}}}={(KM)^{2}-(MX)^{2} \over (KM)^{2}-(MY)^{2}}}}

. (από την διαφορά τετραγώνων)

Οπότε,

{\rm {{(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(KM)^{2}-(MX)^{2} \over (KM)^{2}-(MY)^{2}}.}}

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί,

{\rm {{(MX)^{2}\cdot (KM)^{2}-{\cancel {(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}}={(MY)^{2}\cdot (KM)^{2}-{\cancel {(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}}.}}

και απαλοίφοντας τον κοινό όρο από τα δύο μέλη της εξίσωσης

{\rm {{(MX)^{2}\cdot (KM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (KM)^{2}}}}

.

Αφού ${\rm {MX}}$ , ${\rm {MY}}$ , ${\rm {KM}}$ είναι θετικοί αριθμοί, λαμβάνουμε ότι ${\rm {MX=MY}}$ και καταλήγουμε ότι ${\rm {M}}$ είναι το μέσο του ${\rm {XY}}$ .

Υπάρχουν και πολλές άλλες αποδείξεις χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνικές,^[7]^[8]^[9]^[10] συμπεριλαμβανομένων του θεωρήματος Τσεβά.^[11] Μία σύνοψη αυτών μπορούν να βρεθούν στην δημοσίευση του Bankoff (1987).^[1]

Ιστορία

Η δημοσίευση από το A Gentelemen's Diary (1815).

Η απόδειξη του θεωρήματος της πεταλούδας τέθηκε ως πρόβλημα από τον Γουίλιαμ Γουάλας στο The Gentleman's Mathematical Companion (Ο μαθηματικός σύντροφος του τζέντλεμαν) (1803). Τρεις λύσεις δημοσιεύθηκαν το 1804 και το 1805 ο Σερ Γουίλιαμ Χέρσελ έθεσε ξανά το ερώτημα σε επιστολή του προς τον Γουάλας. Ο αιδεσιμότατος Τόμας Σκερ έθεσε ξανά το ίδιο ερώτημα το 1814 στο Gentleman's Diary or Mathematical Repository (Ημερολόγιο τζέντλεμαν ή Μαθηματικό Αποθετήριο).^[12]

Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν προταθεί^[13] καθώς και επεκτάσεις στις ελλείψεις.^[14]^[15] και σε τετράπλευρα.^[16]^[17]

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Ξενόγλωσσα άρθρα

Glaister, Paul (2007). «Intersecting Chords Theorem: 30 Years on». Mathematics in School 36 (1): 22. https://www.jstor.org/stable/30215983.
Honsberger, R. (1983). «The Butterfly Problem and Other Delicacies from the Noble Art of Euclidean Geometry I». TYCMJ (14): 2-7.
Jones, Dixon (1976). «A Double Butterfly Theorem». Mathematics Magazine 49 (2): 86-87. doi:10.2307/2689437. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1976-03_49_2/page/86.

Παραπομπές

1 2 Bankoff, Leon (1987). «The Metamorphosis of the Butterfly Problem». Mathematics Magazine 60 (4): 195-210. doi:10.2307/2689339. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1987-10_60_4/page/194.
↑ Sauve, Leo (1976). «The celebrated butterfly problem». Crux Mathematicorum: 2-5. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v2n01_Jan.pdf.
↑ Johnson, Roger A., (2007). Advanced Euclidean Geometry. Dover Publ.
↑ Shawyer, Bruce (2010). Explorations in Geometry. World scientific. σελ. 14. ISBN 9789813100947.
↑ Coxeter, S. M.· Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. MAA. σελίδες 45–47.
↑ «Better Butterfly Theorem». www.cut-the-knot.org. Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2024.
↑ Satyanarayana, Kesiraju (1981). «A simple proof of the butterfly problem». Crux Mathematicorum (7): 292. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v7n10_Dec.pdf.
↑ Conrad,, S. R.. «Another Simple Solution of the Butterfly Problem». Mathematics Magazine 46 (1973): 278-280.
↑ Celli, Martin (2016). «A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings». Forum Geometricorum (16): 337–338. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2018-04-24. https://web.archive.org/web/20180424054000/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf. Ανακτήθηκε στις 2024-11-22.
↑ Hung, Tran Quang (2016). «Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle». Forum Geometricorum (16): 345-346. https://web.archive.org/web/20240416143708/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201643.pdf.
↑ Donolato, Cesare (2016). «A proof of the butterfly theorem using Ceva's theorem». Forum Geometricorum (16): 185-186. https://web.archive.org/web/20240506204616/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201623.pdf.
↑ William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem, cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.
↑ Klamkin, M. S. (1965). «An Extension of the Butterfly Problem». Mathematics Magazine 38: 206 - 208. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1965-09_38_4_0/page/206.
↑ Chakerian, G. D.; Sallee, G. T.; Klamkin, M. S. (1969). «On the Butterfly Property». Mathematics Magazine 42: 21-23. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1969-01_42_1/page/20.
↑ Jacobson, W. (1969). The Butterfly Problem—Extensions, Generalizations. 42, σελ. 17 - 21.
↑ Kung, Sidney (2005). «A Butterfly Theorem for Quadrilaterals». Mathematics Magazine 78 (4): 314-316. doi:10.2307/30044180. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2005-10_78_4/page/314.
↑ Cerin, Zvonko (2006). «On butterflies inscribed in a quadrilateral». Forum Geometricorum (6): 241-246. https://web.archive.org/web/20240602165412/https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200628.pdf.

[B87-1] 1 2 Bankoff, Leon (1987). «The Metamorphosis of the Butterfly Problem». Mathematics Magazine 60 (4): 195-210. doi:10.2307/2689339. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1987-10_60_4/page/194.

[2] Sauve, Leo (1976). «The celebrated butterfly problem». Crux Mathematicorum: 2-5. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v2n01_Jan.pdf.

[Johnson-3] Johnson, Roger A., (2007). Advanced Euclidean Geometry. Dover Publ.

[4] Shawyer, Bruce (2010). Explorations in Geometry. World scientific. σελ. 14. ISBN 9789813100947.

[5] Coxeter, S. M.· Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. MAA. σελίδες 45–47.

[6] «Better Butterfly Theorem». www.cut-the-knot.org. Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2024.

[7] Satyanarayana, Kesiraju (1981). «A simple proof of the butterfly problem». Crux Mathematicorum (7): 292. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v7n10_Dec.pdf.

[8] Conrad,, S. R.. «Another Simple Solution of the Butterfly Problem». Mathematics Magazine 46 (1973): 278-280.

[9] Celli, Martin (2016). «A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings». Forum Geometricorum (16): 337–338. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2018-04-24. https://web.archive.org/web/20180424054000/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf. Ανακτήθηκε στις 2024-11-22.

[10] Hung, Tran Quang (2016). «Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle». Forum Geometricorum (16): 345-346. https://web.archive.org/web/20240416143708/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201643.pdf.

[11] Donolato, Cesare (2016). «A proof of the butterfly theorem using Ceva's theorem». Forum Geometricorum (16): 185-186. https://web.archive.org/web/20240506204616/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201623.pdf.

[12] William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem, cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.

[13] Klamkin, M. S. (1965). «An Extension of the Butterfly Problem». Mathematics Magazine 38: 206 - 208. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1965-09_38_4_0/page/206.

[14] Chakerian, G. D.; Sallee, G. T.; Klamkin, M. S. (1969). «On the Butterfly Property». Mathematics Magazine 42: 21-23. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1969-01_42_1/page/20.

[15] Jacobson, W. (1969). The Butterfly Problem—Extensions, Generalizations. 42, σελ. 17 - 21.

[16] Kung, Sidney (2005). «A Butterfly Theorem for Quadrilaterals». Mathematics Magazine 78 (4): 314-316. doi:10.2307/30044180. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2005-10_78_4/page/314.

[17] Cerin, Zvonko (2006). «On butterflies inscribed in a quadrilateral». Forum Geometricorum (6): 241-246. https://web.archive.org/web/20240602165412/https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200628.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]