Ευθεία Νεύτωνα-Γκάους

Η ευθεία Νεύτωνα-Γκάους (με κόκκινο) ενός πλήρους τετράπλευρου ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$ διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma ,B\Delta ,EZ}}$.

Ευθεία του Νεύτωνα: η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Στην γεωμετρία, η ευθεία Νεύτωνα-Γκάους (αναφέρεται και ως ευθεία Newton-Gauss) είναι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {B\Delta }}$, ${\rm {ZE}}$ ενός πλήρους τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$ . Σε ένα παραλληλόγραμμο τα μέσα ταυτίζονται και έτσι δεν ορίζεται ευθεία.

Στην περίπτωση ενός κυρτού τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, το οποίο δεν είναι παραλληλόγραμμο, η ευθεία Νεύτωνα-Γκάους ορίζεται ως η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ του τετραπλεύρου και συχνά αναφέρεται ως η ευθεία του Νεύτωνα.

Η ευθεία παίρνει το όνομα της από τους Ισαάκ Νεύτωνα και Καρλ Φρίντριχ Γκάους.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το πλήρες τετραπλεύρο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$ και ${\rm {M,N,K}}$ τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma ,B\Delta ,EZ}}$ αντίστοιχα. Αν ${\rm {\Lambda ,P,\Sigma }}$ τα μέσα των ${\rm {AE,A\Delta ,E\Delta }}$ αντίστοιχα τότε έχουμε:

${\frac {\rm {K\Lambda }}{\rm {K\Sigma }}}={\frac {\rm {ZA}}{\rm {Z\Delta }}}$,

${\frac {\rm {N\Sigma }}{\rm {NP}}}={\frac {\rm {BE}}{\rm {BA}}}$,

${\frac {\rm {MP}}{\rm {M\Lambda }}}={\frac {\rm {\Gamma \Delta }}{\rm {\Gamma E}}}$.

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις τρεις ισότητες παίρνουμε:

${\frac {\rm {K\Lambda }}{\rm {K\Sigma }}}\cdot {\frac {\rm {N\Sigma }}{\rm {NP}}}\cdot {\frac {\rm {MP}}{\rm {M\Lambda }}}={\frac {\rm {ZA}}{\rm {Z\Delta }}}\cdot {\frac {\rm {BE}}{\rm {BA}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma \Delta }}{\rm {\Gamma E}}}$

Το δεύτερο μέλος της ισότητας είναι ίσο με 1 διότι η ευθεία ${\rm {ZB\Gamma }}$ είναι διατέμνουσα του τριγώνου ${\rm {EA\Delta }}$ άρα ισχύει ότι:

${\frac {\rm {K\Lambda }}{\rm {K\Sigma }}}\cdot {\frac {\rm {N\Sigma }}{\rm {NP}}}\cdot {\frac {\rm {MP}}{\rm {M\Lambda }}}=1$,

και σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος του Μενελάου στο τρίγωνο ${\rm {\Lambda \Sigma P}}$ τα σημεία ${\rm {K,N,M}}$ είναι συνευθειακά.

$\square$

Απόδειξη με διανύσματα

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης με διανύσματα για την ευθεία Νεύτωνα-Γκάους.

Θεωρούμε το πλήρες τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$ και ${\rm {M,N,K}}$ τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma ,B\Delta ,EZ}}$ αντίστοιχα.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα διανύσματα ${\vec {\rm {MN}}},{\vec {\rm {MK}}}$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα.

Αν θέσουμε ${\vec {\rm {AE}}}={\vec {\rm {\alpha }}}$ και ${\vec {\rm {AZ}}}={\vec {\rm {\beta }}}$ τότε επειδή τα διανύσματα ${\vec {\rm {\alpha }}}$ και ${\vec {\rm {\beta }}}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, υπάρχουν $\lambda ,\mu \in \Re$ τέτοιοι ώστε να είναι

${\vec {\rm {A\Gamma }}}={\rm {\lambda \cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+{\rm {\mu \cdot {\vec {\rm {\beta }}}}}}}$.

(1)

Εξ άλλου υπάρχουν $\kappa ,\nu \in \Re$ τέτοιοι ώστε ${\vec {\rm {AB}}}=\kappa \cdot {\vec {\rm {\alpha }}}$ και ${\vec {\rm {A\Delta }}}=\nu \cdot {\vec {\rm {\beta }}}$.

(2)

Την σχέση (1) μπορούμε να την γράψουμε με τους εξής δύο τρόπους:

${\vec {\rm {A\Gamma }}}={\rm {{\frac {\lambda }{\kappa }}\cdot {\vec {\rm {AB}}}+{\rm {\mu \cdot {\vec {\rm {AZ}}}}}}}$,

(3)

${\vec {\rm {A\Gamma }}}={\rm {\lambda \cdot {\vec {\rm {AE}}}+{\frac {\rm {\mu }}{\nu }}\cdot {\vec {\rm {A\Delta }}}}}$.

(4)

Επειδή τα σημεία ${\rm {B,\Gamma ,Z}}$ είναι συνευθειακά και ισχύει η (3) έπεται ότι

${\rm {{\frac {\lambda }{\kappa }}+{\rm {\mu =1}}}}$.

(5)

Επειδή τα σημεία ${\rm {E,\Gamma ,\Delta }}$ είναι συνευθειακά και ισχύει η (4) έπεται ότι

${\rm {\lambda +{\frac {\rm {\mu }}{\nu }}=1}}$.

(6)

Έχουμε τις σχέσεις:

${\vec {\rm {AM}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\vec {\rm {A\Gamma }}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\rm {\lambda \cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+{\rm {\mu \cdot {\vec {\rm {\beta }}})}}}}$ λόγω της (1),

${\vec {\rm {AN}}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\vec {\rm {AB}}}+{\vec {\rm {A\Delta }}})={\frac {1}{2}}\cdot ({\rm {\kappa \cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+{\rm {\nu \cdot {\vec {\rm {\beta }}})}}}}$ λόγω των (2),

${\vec {\rm {AK}}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\vec {\rm {AE}}}+{\vec {\rm {AZ}}})={\frac {1}{2}}\cdot ({\vec {\rm {\alpha }}}+{\vec {\rm {\beta }}})$

από τις οποίες προκύπτουν οι εξής:

${\vec {\rm {MN}}}={\vec {\rm {AN}}}-{\vec {\rm {AM}}}={\frac {1}{2}}\cdot [(\kappa -\lambda )\cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+(\nu -\mu )\cdot {\vec {\rm {\beta }}})]$,

${\vec {\rm {MK}}}={\vec {\rm {AK}}}-{\vec {\rm {AM}}}={\frac {1}{2}}\cdot [(1-\lambda )\cdot {\vec {\rm {\alpha }}}+(1-\mu )\cdot {\vec {\rm {\beta }}})]$.

Τα διανύσματα ${\vec {\rm {MN}}},{\vec {\rm {MK}}}$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα, όταν ισχύει η σχέση

${\frac {\kappa -\lambda }{1-\lambda }}={\frac {\nu -\mu }{1-\mu }}$, η οποία είναι αληθής λόγω των σχέσεων (5) και (6).

$\square$

Ιδιότητες

• Σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ (που δεν είναι παραλληλόγραμμο), το σημείο τομής ${\rm {K}}$ των δύο ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του, ανήκει στην ευθεία του Νεύτωνα. Επιπλέον, αν ${\rm {M}}$, ${\rm {N}}$ είναι τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {B\Delta }}$ αντίστοιχα, τότε το σημείο ${\rm {K}}$ είναι το μέσο του ${\rm {MN}}$.

Απόδειξη  

Η ευθεία Νεύτωνα περιλαμβάνει το σημείο τομής ${\rm {K}}$ των ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών.

Έστω ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}}$ τα μέσα των πλευρών του, και ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του.
Θεωρούμε ένα τυχόν σημείο αναφοράς ${\rm {O}}$. Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία ${\rm {K,M,N}}$ είναι συνευθειακά και ότι το σημείο ${\rm {K}}$ είναι το μέσο του ${\rm {MN}}$.

Τα διανύσματα θέσης των μέσων των πλευρών μπορούν να γραφούν ως:

${\rm {{\vec {\rm {OM_{1}}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {OB}}}\right)}}$,

${\rm {{\vec {\rm {OM_{2}}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {OB}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}\right)}}$,

${\rm {{\vec {\rm {OM_{3}}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)}}$,

${\rm {{\vec {\rm {OM_{4}}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {O\Delta }}}+{\vec {\rm {OA}}}\right)}}$,

και τα διανύσματα θέσης των μέσων των διαγωνίων μπορούν να γραφούν ως:

${\vec {\rm {OM}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}\right)$,

${\vec {\rm {ON}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)$.

Σύμφωνα με το θεώρημα Βαρινιόν, το τετράπλευρο ${\rm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}}$ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς
το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\rm {K}}$ είναι το κέντρο βάρους του.
Άρα

${\begin{aligned}{\vec {\rm {OK}}}&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {OM_{1}}}}+{\vec {\rm {OM_{2}}}}+{\vec {\rm {OM_{3}}}}+{\vec {\rm {OM_{4}}}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {OB}}}\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {OB}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {O\Delta }}}+{\vec {\rm {OA}}}\right)\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {OB}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right).\end{aligned}}$

Επομένως,

${\vec {\rm {KM}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}\right)-{\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {OB}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)={\frac {1}{4}}\cdot \left(+{\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {OB}}}-{\vec {\rm {O\Gamma }}}-{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)$,

${\vec {\rm {KN}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)-{\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {OB}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)={\frac {1}{4}}\cdot \left(-{\vec {\rm {OA}}}-{\vec {\rm {OB}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}+{\vec {\rm {O\Delta }}}\right)$.

Από τις δύο αυτές σχέσεις καταλήγουμε ότι ${\vec {\rm {KM}}}=-{\vec {\rm {KN}}}$, που σημαίνει ότι τα σημεία ${\rm {K,M,N}}$ είναι συνευθειακά και το σημείο ${\rm {K}}$ είναι το μέσο του ${\rm {MN}}$.

$\square$

Θεώρημα του Anne: Το άθροισμα των πράσινων και μπλε εμβαδών είναι ίσο ανν το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα.

• (Θεώρημα Anne) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {P}}$ που ικανοποιούν την εξής σχέση

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}$.

Σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ οι απέναντι κορυφές ισαπέχουν από την ευθεία Νεύτωνα, δηλαδή ${\rm {AK=\Gamma \Lambda }}$.

• Οι απέναντι κορυφές ενός τετράπλευρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισαπέχουν από την ευθεία Νεύτωνα.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα ${\rm {AKM}}$ και ${\rm {\Gamma M\Lambda }}$ είναι ίσα.

Έστω ${\rm {K}}$ η προβολή του ${\rm {A}}$ στην ευθεία Νεύτωνα και ${\rm {\Lambda }}$ η προβολή του ${\rm {\Gamma }}$ στην ευθεία Νεύτωνα.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {AKM}}$ και $\Gamma M\Lambda$ έχουν μία πλευρά ίση (την ${\rm {AM=M\Gamma }}$) και μία οξεία γωνία ίση (την ${\widehat {\rm {AMK}}}={\widehat {\rm {\Gamma M\Lambda }}}$). :

Επομένως, ${\rm {AK=\Gamma \Lambda }}$.

$\square$

Ειδικές περιπτώσεις

Θεώρημα Νεύτωνα: Η ευθεία Νεύτωνα σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο περιλαμβάνει το κέντρο ${\rm {I}}$ του εγγεγραμμένου του κύκλου.

• (Θεώρημα Νεύτωνα) Σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου ανήκει επίσης στην ευθεία Νεύτωνα.
• Σε ένα τραπέζιο, η ευθεία Νεύτωνα-Γκάους είναι παράλληλη στις δύο βάσεις.

Δείτε επίσης

• Πλήρες τετράπλευρο
• Θεώρημα Anne
• Θεώρημα Νεύτωνα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευθεία Νεύτωνα στο Γεωμετρικόν.
• Ευθεία Νεύτωνα στο Cut The Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή με την ευθεία Νεύτωνα στο Desmos.
• Διαδραστική εφαρμογή για την ιδιότητα ότι οι απέναντι κορυφές ισαπέχουν από την ευθεία Νεύτωνα στο Desmos.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Pamfilos, Paris (2009). «On the Newton line of a quadrilateral». Forum Geometricorum (9): 81-98. https://web.archive.org/web/20211207220459/https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200907.pdf. 
• Barbu, Catalin; Patrascu, Ion (2012). «Some Properties of the Newton-Gauss Line». Forum Geometricorum (12): 149-152. https://web.archive.org/web/20230207151645/https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201220index.html.