Κύκλοι τεμνόμενοι κατά διάμετρο

Ο κύκλος με κέντρο το O₁ τέμνει κατά διάμετρο τον κύκλο με κέντρο το O₂.

Στην γεωμετρία, ένας κύκλος $K_{1}$ τέμνει κατά διάμετρο έναν κύκλο $K_{2}$ αν η κοινή τους χορδή είναι διάμετρος του δεύτερου κύκλου.

Πιο συγκεκριμένα, έστω δύο κύκλοι με κέντρα ${\rm {O_{1}}}$ και ${\rm {O_{2}}}$, που τέμνονται στα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$. Λέμε ότι ο πρώτος τέμνει τον δεύτερο κατά διάμετρο αν η κοινή χορδή ${\rm {AB}}$ είναι κάθετη στην ${\rm {O_{1}O_{2}}}$.

Ιδιότητες

• Ένας κύκλος $({\rm {O}}_{1},r_{1})$ τέμνει κατά διάμετρο έναν κύκλο $({\rm {O}}_{2},r_{2})$ αν και μόνο αν $(r_{1})^{2}=({\rm {O_{1}O_{2}}})^{2}+(r_{2})^{2}$.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα ${\rm {O_{1}O_{2}A}}$ και ${\rm {O_{1}O_{2}B}}$ είναι ορθογώνια.

($\Rightarrow$) Το τρίγωνο ${\rm {O_{1}O_{2}A}}$ είναι ορθογώνιο με ορθή την ${\rm {O_{2}}}$, καθώς η διάκεντρος ${\rm {O_{1}O_{2}}}$ είναι κάθετος στην κοινή χορδή ${\rm {AB}}$. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτό το τρίγωνο λαμβάνουμε ότι

$(r_{1})^{2}=({\rm {O_{1}O_{2}}})^{2}+(r_{2})^{2}$.

($\Leftarrow$) Από το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο ${\rm {O_{1}O_{2}A}}$ είναι ορθογώνιο, καθώς και το τρίγωνο ${\rm {O_{1}O_{2}B}}$. Επομένως, η γωνία ${\widehat {\rm {AO_{2}B}}}$ είναι ευθεία και άρα η ${\rm {AB}}$ είναι και διάμετρος του δεύτερου κύκλου.

Δείτε επίσης

• Τεμνόμενοι κύκλοι
• Ορθογώνιοι κύκλοι