Μηνίσκος (γεωμετρία)

Το σχήμα της ημισελήνου που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενους κύκλους ονομάζεται μηνίσκος (με γκρι χρώμα). Υπάρχουν δύο μηνίσκοι σε κάθε διάγραμμα, εκ των οποίων μόνο ο ένας είναι σκιασμένος.

Στην επιπεδομετρία, ο μηνίσκος είναι μια κοίλη-κυρτή περιοχή που οριοθετείται από δύο τόξα δύο διαφορετικών κύκλων.

Πιο συγκεκριμένα, ένας μηνίσκος είναι το σχετικό συμπλήρωμα ενός κυκλικού δίσκου σε έναν άλλον με τον οποίο τέμνονται. Δηλαδή, μία περιοχή $L$ είναι μηνίσκος αν υπάρχουν τεμνόμενοι δίσκοι $C_{1}$ και $C_{2}$ ώστε

$L=C_{1}-C_{1}\cap C_{2}$,

όπου $C_{1}\cap C_{2}$ η τομή τους.

Παράδειγμα

Κατά τον 5ο αιώνα π.Χ., ο Ιπποκράτης ο Χίος έδειξε ότι ορισμένοι μηνίσκοι μπορούσαν να τετραγωνιστούν ακριβώς με κανόνα και διαβήτη.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός μηνίσκου που ορίζεται από τους τεμνόμενους κύκλους $({\rm {O_{1}}},r_{1})$ και $({\rm {O_{2}}},r_{2})$ με απόσταση $\delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}$ είναι ίσο με

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=\pi r_{1}^{2}-r_{1}^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}^{2}+\delta ^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}\delta }}\right)-r_{2}^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {r_{2}^{2}+\delta ^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}\delta }}\right)\\&\quad +{\frac {1}{2}}{\sqrt {(r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}+r_{2}-\delta )\cdot (r_{1}-r_{2}+\delta )\cdot (-r_{1}+r_{2}+\delta )}}\\\end{aligned}}$.

Απόδειξη  

Έστω δύο κύκλοι $C_{1}=({\rm {O_{1}}},r_{1})$ και $C_{2}=({\rm {O_{2}}},r_{2})$ με απόσταση $\delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}$, και σημεία τομής ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$.

Έστω $S_{1}$ ο κυκλικός τομέας στον $C_{1}$ που ορίζεται από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$, και αντίστοιχα ο $S_{2}$ στον $C_{2}$. Τότε το εμβαδόν του μηνίσκου $L=C_{1}-C_{1}\cap C_{2}$ είναι ίσο με

${\rm {E}}_{L}={\rm {E}}_{C_{1}}-{\rm {E}}_{C_{1}\cap C_{2}}={\rm {E}}_{C_{1}}-({\rm {E}}_{S_{1}}+{\rm {E}}_{S_{2}}-{\rm {E}}_{\rm {O_{1}AO_{2}B}})$.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm {O_{1}AO_{2}B}}$ είναι ίσο με δύο φορές αυτό του τριγώνου ${\rm {O_{1}AO_{2}}}$. Επομένως, από τον τύπο του Ήρωνα, λαμβάνουμε ότι

${\rm {E}}_{\rm {O_{1}AO_{2}B}}=2{\rm {E}}_{\rm {O_{1}AO_{2}B}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}+r_{2}-\delta )\cdot (r_{1}-r_{2}+\delta )\cdot (-r_{1}+r_{2}+\delta )}}.$

Από τον νόμο των συνημιτόνων, έχουμε

${\widehat {\rm {AO_{1}B}}}=2\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}^{2}+\delta ^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}\delta }}\right)$,

${\widehat {\rm {AO_{2}B}}}=2\cos ^{-1}\left({\frac {r_{2}^{2}+\delta ^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}\delta }}\right)$.

Τα εμβαδά των κυκλικών τομέων δίνονται από

${\rm {E}}_{S_{1}}=r_{1}^{2}\cdot {\widehat {\rm {AO_{1}B}}}$,

${\rm {E}}_{S_{2}}=r_{2}^{2}\cdot {\widehat {\rm {AO_{2}B}}}$.

Συνδυάζοντας τους παραπάνω τύπους λαμβάνουμε τον ζητούμενο.

Δείτε επίσης

• Σφαιρικός μηνίσκος
• Τεμνόμενοι κύκλοι

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη στο Φωτόδεντρο
• Τετραγωνισμός μηνίσκου στο Φωτόδεντρο
• Μηνίσκοι και εμβαδά στο Φωτόδεντρο
• Weisstein, Eric W., "Lune" από το MathWorld.
• The Five Squarable Lunes στο MathPages.