Ορθογώνιοι κύκλοι

Οι ορθογώνιοι κύκλοι.

Στην γεωμετρία, δύο τεμνόμενοι κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι αν η γωνία των δύο κύκλων είναι ορθή.

Συγκεκριμένα, δύο κύκλοι με κέντρα ${\rm {O_{1}}}$ και ${\rm {O_{2}}}$ και σημεία τομής ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ είναι ορθογώνιοι όταν οι εφαπτόμενές τους σε ένα από τα κοινά τους σημεία είναι κάθετες, δηλαδή είναι,

${\rm {{\widehat {O_{1}AO_{2}}}={\widehat {O_{1}BO_{2}}}=90^{\circ }}}$.

Ιδιότητες

Δύο τεμνόμενοι κύκλοι κύκλοι $C_{1}(\mathrm {O_{1}} ,\rho _{1})$ και $C_{2}(\mathrm {O_{2}} ,\rho _{2})$, είναι ορθογώνιοι ανν ισχύει:

• Η εφαπτομένη του ενός κύκλου σε ένα από τα κοινά τους σημεία, διέρχεται από το κέντρο του άλλου κύκλου.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω ότι οι κύκλοι $C_{1}(\mathrm {O_{1}} ,\rho _{1})$ και $C_{2}(\mathrm {O_{2}} ,\rho _{2})$, είναι ορθογώνιοι και $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ οι εφαπτόμενες των κύκλων $C_{1}$, $C_{2}$ αντίστοιχα στο κοινό τους σημείο ${\rm {A}}$.

Η ακτίνα ${\rm {O_{1}A}}$ είναι κάθετη στην εφαπτομένη $\varepsilon _{1}$ στο σημείο επαφής ${\rm {A}}$.

Επειδή οι δύο κύκλοι είναι ορθογώνιοι, η εφαπτομένη $\varepsilon _{2}$ είναι κάθετη στην στην $\varepsilon _{1}$ στο σημείο επαφής ${\rm {A}}$.

Άρα η $\varepsilon _{2}$ ταυτίζεται με τον φορέα της ${\rm {O_{1}A}}$ συνεπώς διέρχεται από το κέντρο ${\rm {O_{1}}}$ του κύκλου $C_{1}$.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και η $\varepsilon _{1}$ διέρχεται από το κέντρο ${\rm {O_{2}}}$ του κύκλου $C_{2}$.

($\Leftarrow$) Έστω ότι η εφαπτομένη $\varepsilon _{1}$ του κύκλου $C_{1}$ στο σημείο ${\rm {A}}$ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $C_{2}$ και η εφαπτομένη $\varepsilon _{2}$ του κύκλου $C_{2}$ στο σημείο ${\rm {A}}$ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $C_{1}$.

Τότε οι ${\rm {O_{1}A}}$ και ${\rm {O_{2}A}}$ είναι κάθετες στις $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ αντίστοιχα ως ακτίνες στο σημείο επαφής ${\rm {A}}$.

Άρα και οι $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$ είναι κάθετες μεταξύ τους, συνεπώς οι κύκλοι $C_{1}$, $C_{2}$ είναι ορθογώνιοι.

$\square$

• Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στους δύο κύκλους και διέρχεται από ένα κοινό τους σημείο, φαίνεται από το άλλο κοινό σημείο υπό ορθή γωνία.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης ότι ΓΒΔ είναι ορθή.

Έστω οι ορθογώνιοι κύκλοι $C_{1}(\mathrm {O_{1}} ,\rho _{1})$ και $C_{2}(\mathrm {O_{2}} ,\rho _{2})$ οι οποίοι τέμνονται στα σημεία ${\rm {A,B}}$.

Αν ${\rm {\Gamma \Delta }}$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα που τέμνει τον κύκλο $C_{1}$ στο σημείο ${\rm {\Gamma }}$ και τον κύκλο $C_{2}$ στο σημείο ${\rm {\Delta }}$ και διέρχεται από το σημείο ${\rm {A}}$, θα αποδείξουμε ότι η γωνία ${\rm {\widehat {\Gamma B\Delta }}}$ είναι ορθή.

Το τρίγωνο ${\rm {O_{1}AO_{2}}}$ είναι ορθογώνιο με ${\rm {{\widehat {O_{1}AO_{2}}}=90^{\circ }}}$, διότι οι κύκλοι είναι ορθογώνιοι και οι ${\rm {O_{1}A}}$ και ${\rm {O_{2}A}}$ είναι εφαπτόμενες στους $C_{2}$, $C_{1}$ αντίστοιχα.

Στον κύκλο $C_{1}$ η εγγεγραμμένη γωνία ${\rm {\widehat {B\Gamma A}}}$ βαίνει στο τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ άρα είναι ίση με την υπό χορδής και εφαπτομένης σχηματιζόμενη γωνία ${\rm {\widehat {BAO_{2}}}}$.

Στον κύκλο $C_{2}$ η εγγεγραμμένη γωνία ${\rm {\widehat {B\Delta A}}}$ βαίνει στο τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ άρα είναι ίση με την υπό χορδής και εφαπτομένης σχηματιζόμενη γωνία ${\rm {\widehat {BAO_{1}}}}$.

Είναι

${\rm {{\widehat {BAO_{1}}}+{\widehat {BAO_{2}}}={\widehat {O_{1}AO_{2}}}=90^{\circ }}}$

τότε,

${\rm {{\widehat {B\Gamma A}}+{\widehat {B\Delta A}}=90^{\circ }}}$

επομένως,

${\rm {{\widehat {\Gamma B\Delta }}=90^{\circ }}}$.

Αποδείξαμε ότι η γωνία ${\rm {\widehat {\Gamma B\Delta }}}$ είναι ορθή.

$\square$

Μετρικές σχέσεις

• ${\rm {O_{1}O_{2}}}={\rm {\sqrt {\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}}}$.

Απόδειξη  

Ισχύει ότι $\delta ^{2}={\rm {\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}}$.

Το τρίγωνο ${\rm {O_{1}AO_{2}}}$ είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές τις ${\rm {O_{1}A=\rho _{1}}}$ και ${\rm {O_{2}A=\rho _{2}}}$.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έπεται ότι,

${\rm {O_{1}O_{2}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}}$,

άρα

${\rm {O_{1}O_{2}}}={\rm {\sqrt {\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}}}$.

$\square$

• Το τετράγωνο της ακτίνας του ενός κύκλου είναι ίσο με την δύναμη του κέντρου του ως προς τον άλλο κύκλο.

Απόδειξη  

Ισχύει ότι $\Delta _{C_{2}}^{\rm {O_{1}}}=\rho _{1}^{2}$.

($\Rightarrow$) Έστω ότι οι κύκλοι $C_{1}(\mathrm {O_{1}} ,\rho _{1})$ και $C_{2}(\mathrm {O_{2}} ,\rho _{2})$, είναι ορθογώνιοι και $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ οι εφαπτόμενες των κύκλων $C_{1}$, $C_{2}$ αντίστοιχα στο κοινό τους σημείο ${\rm {A}}$.

Σύμφωνα με τις προηγούμενες ιδιότητες, η ακτίνα ${\rm {O_{1}A}}$ εφάπτεται του κύκλου $C_{2}$ και είναι κάθετη στην ακτίνα ${\rm {O_{2}A}}$.

Η δύναμη του σημείου ${\rm {O_{1}}}$ ως προς τον κύκλο $C_{2}$ είναι ίση με,

$\Delta _{C_{2}}^{\rm {O_{1}}}={\rm {O_{1}A^{2}=\rho _{1}^{2}}}$.

($\Leftarrow$)Έστω ότι η δύναμη του σημείου ${\rm {O_{1}}}$ ως προς τον κύκλο $C_{2}$ είναι ίση με,

$\Delta _{C_{2}}^{\rm {O_{1}}}={\rm {O_{1}A^{2}}}$,

αλλά

$\Delta _{C_{2}}^{\rm {O_{1}}}={\rm {O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}A^{2}}}$.

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των δύο σχέσεων, έχουμε

${\rm {O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}A^{2}=O_{1}A^{2}}}$,

άρα

${\rm {O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}A^{2}+O_{2}A^{2}}}$.

Τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα έπεται ότι το τρίγωνο ${\rm {O_{1}AO_{2}}}$ είναι ορθογώνιο με ${\rm {{\widehat {O_{1}AO_{2}}}=90^{\circ }}}$.

Συνεπώς οι κύκλοι $C_{1}$, $C_{2}$ είναι ορθογώνιοι.

$\square$

• Η διάμετρος του ενός κύκλου διαιρείται αρμονικά από τον άλλον κύκλο (υπό τον όρο ότι τον τέμνει σε δύο σημεία).

Απόδειξη  

Τα σημεία Γ, Γ', Δ, Δ' σχηματίζουν μία αρμονική τετράδα.

Αν ${\rm {\Gamma \Delta }}$ είναι μία διάμετρος του κύκλου $C_{1}$ η οποία τέμνει τον κύκλο $C_{2}$ στα σημεία έστω ${\rm {\Gamma '\Delta '}}$ τότε,

($\Rightarrow$) Υποθέτουμε ότι οι κύκλοι $C_{1}(\mathrm {O_{1}} ,\rho _{1})$ και $C_{2}(\mathrm {O_{2}} ,\rho _{2})$, είναι ορθογώνιοι.

Από προηγούμενη ιδιότητα ισχύει ότι,

${\rm {O_{1}\Gamma '\cdot O_{1}\Delta '=O_{1}\Gamma ^{2}}}$.

Αλλά το σημείο ${\rm {O_{1}}}$ είναι το μέσον του ${\rm {\Gamma \Delta }}$ άρα σύμφωνα με την ιδιότητα της αρμονικής τετράδας τα σημεία (${\rm {\Gamma ,\Delta ,\Gamma ',\Delta '}}$) αποτελούν αρμονική τετράδα.

($\Leftarrow$) Υποθέτουμε ότι τα σημεία (${\rm {\Gamma ,\Delta ,\Gamma ',\Delta '}}$) αποτελούν αρμονική τετράδα και το σημείο ${\rm {O_{1}}}$ είναι το μέσον του ${\rm {\Gamma \Delta }}$.

Τότε ισχύει ότι,

${\rm {O_{1}\Gamma '\cdot O_{1}\Delta '=O_{1}\Gamma ^{2}}}$,

δηλαδή

${\rm {O_{1}\Gamma '\cdot O_{1}\Delta '=O_{1}A^{2}}}$.

Η ισότητα αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η ακτίνα ${\rm {O_{1}A}}$ είναι εφαπτομένη του κύκλου $C_{2}$ στο σημείο ${\rm {A}}$.

Συνεπώς σύμφωνα με προηγούμενη ιδιότητα οι κύκλοι $C_{1}$, $C_{2}$ είναι ορθογώνιοι.

$\square$

Δείτε επίσης

• Τεμνόμενοι κύκλοι
• Κύκλοι τεμνόμενοι κατά διάμετρο
• Μη-τεμνόμενοι κύκλοι