Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου

Η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ της κορυφής $\mathrm {A}$.

Στην γεωμετρία, εξωτερική διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της εξωτερικής γωνίας τριγώνου που περιέχεται μεταξύ της κορυφής του τριγώνου και της απέναντι πλευράς.

Ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το διπλανό σχήμα δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με $\delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'$ ή $\delta _{\alpha }',\delta _{\beta }',\delta _{\gamma }'$ αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος $\delta _{\rm {A}}'$ είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο $\delta _{\rm {A}}$.

Οι φορείς των εσωτερικών και εξωτερικών διχοτόμων τέμνονται κάθετα.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma }$ ικανοποιεί

${\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.$

Παράκεντρα τριγώνου

Το παράκεντρο $\mathrm {J} _{\Gamma }$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ οι εξωτερικές διχοτόμοι $\delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}'$ και η εσωτερική διχοτόμος $\delta _{\rm {\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Ονομάζεται το παράκεντρο $\mathrm {J} _{\mathrm {\Gamma } }$ του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα ${\rm {J_{B}}}$ και ${\rm {J_{\Gamma }}}$.

Μήκος εξωτερικής διχοτόμου

• Τα μήκη ${\rm {\delta '_{A}}}$, ${\rm {\delta '_{B}}}$, ${\rm {\delta '_{\Gamma }}}$, των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου, συναρτήσει των πλευρών του, δίνονται από τους τύπους:

${\rm {{\rm {\delta '_{A}}}={\rm {{\frac {2}{|\beta -\gamma |}}\cdot {\sqrt {\beta \cdot \gamma \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}}}}$, ${\rm {{\rm {\delta '_{B}}}={\rm {{\frac {2}{|\alpha -\gamma |}}\cdot {\sqrt {\alpha \cdot \gamma \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\gamma )}}}}}}$, ${\rm {{\rm {\delta '_{\Gamma }}}={\rm {{\frac {2}{|\alpha -\beta |}}\cdot {\sqrt {\alpha \cdot \beta \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}}}}}}$

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για το μήκος της εξωτερικής διχοτόμου.

Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές ${\rm {{B\Gamma }=\alpha }}$, ${\rm {{A\Gamma }=\beta }}$, ${\rm {{AB}=\gamma }}$ και ${\rm {A\Delta '}}$ η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ${\rm {\widehat {A}}}$ του τριγώνου.

Θα υποθέσουμε ότι είναι ${\rm {\beta >\gamma }}$ και επομένως το σημείο ${\rm {\Delta '}}$ θα βρίσκεται στην προέκταση της ${\rm {B\Gamma }}$ προς το μέρος του ${\rm {B}}$.

Προεκτείνουμε την ${\rm {A\Delta '}}$ η οποία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο έστω ${\rm {E}}$ και στη συνέχεια ενώνουμε το ${\rm {E}}$ με το ${\rm {\Gamma }}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AB\Delta '}}$ και ${\rm {AE\Gamma }}$ έχουν,

• ${\rm {{\widehat {BAE}}={\widehat {EA\Gamma }}}}$, διότι η ${\rm {{\widehat {A}}_{1}={\widehat {A}}_{2}={\widehat {A}}_{3}}}$,
• ${\rm {{\widehat {AB\Delta '}}={\widehat {AE\Gamma }}}}$, διότι είναι εξωτερική γωνία του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma E}}$ και ισούται με την απέναντι εσωτερική.

Συνεπώς τα τρίγωνα είναι όμοια και ισχύει,

${\rm {{\frac {AB}{AE}}={\frac {A\Delta '}{A\Gamma }}}}$ και με χιαστή γινόμενα,

${\rm {A\Delta '\cdot AE=A\Gamma \cdot AB}}$ δηλαδή

${\rm {A\Delta '\cdot AE=\beta \cdot \gamma }}$

(1)

Αλλά είναι ${\rm {AE=\Delta 'E-A\Delta '}}$ και έτσι η σχέση (1) γράφεται,

${\rm {A\Delta '\cdot (\Delta 'E-A\Delta ')=\beta \cdot \gamma }}$ και μετά από πράξεις,

${\rm {(A\Delta ')^{2}=A\Delta '\cdot \Delta 'E-\beta \cdot \gamma }}$

(2)

Σύμφωνα με το θεώρημα τεμνομένων χορδών ισχύει ${\rm {A\Delta '\cdot \Delta 'E=\Delta 'B\cdot \Delta '\Gamma }}$

Επομένως η σχέση (2) γράφεται ${\rm {(A\Delta ')^{2}=\Delta 'B\cdot \Delta '\Gamma -\beta \cdot \gamma }}$

(3)

Από το Θεώρημα της διχοτόμου γνωρίζουμε ότι είναι,

$\mathrm {\Delta 'B} ={\frac {\alpha \cdot \gamma }{\beta -\gamma }}$ και $\mathrm {\Delta '\Gamma } ={\frac {\alpha \cdot \beta }{\beta -\gamma }}$.

Τότε η σχέση (3) γράφεται,

${\begin{aligned}{\rm {\rm {(A\Delta ')^{2}}}}&={\rm {{\frac {\alpha ^{2}\cdot \beta \cdot \gamma }{(\beta -\gamma )^{2}}}-\beta \cdot \gamma }}\\&={\rm {\beta \cdot \gamma \cdot {\frac {\alpha ^{2}-(\beta -\gamma )^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}}}\\&={\rm {{\frac {\beta \cdot \gamma \cdot (\alpha +\gamma -\beta )\cdot (\alpha -\gamma +\beta )}{(\beta -\gamma )^{2}}}.}}\end{aligned}}$.

(4)

Και αν θέσουμε $\alpha +\beta +\gamma =2\tau$ τότε θα είναι $\alpha +\gamma -\beta =2(\tau -\beta )$ και $\alpha -\gamma +\beta =2(\tau -\gamma )$,τότε η σχέση (4) γράφεται,

${\rm {{\rm {(A\Delta ')^{2}}}={\rm {\frac {4\beta \cdot \gamma \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{(\beta -\gamma )^{2}}}}}}$

Άρα είναι

${\rm {{\rm {\delta '_{A}}}={\rm {{\frac {2}{|\beta -\gamma |}}\cdot {\sqrt {\beta \cdot \gamma \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}}}}$

Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε τα μήκη και των άλων δύο διχοτόμων.

$\square$

Σημείωση. Οι παραπάνω τύποι αποδεικνύονται και με τη χρήση του θεωρήματος Στιούαρτ :

$(\delta _{\rm {A}}')^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right)$, $\quad (\delta _{\rm {B}}')^{2}=\gamma \alpha \cdot \left({\frac {\beta ^{2}}{(\gamma -\alpha )^{2}}}-1\right)\quad$ και $(\delta _{\rm {\Gamma }}')^{2}=\alpha \beta \cdot \left({\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha -\beta )^{2}}}-1\right)$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις

$\delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\rm {A}}{2}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\rm {B}}{2}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

και επίσης

$\delta _{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\frac {{\rm {B}}-{\rm {\Gamma }}}{2}}}}$, $\quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\frac {{\rm {\Gamma }}-{\rm {A}}}{2}}}}\quad$ και $\quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\frac {{\rm {A}}-{\rm {B}}}{2}}}}$.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου