Εγγεγραμμένη γωνία

Η γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$.

Στην γεωμετρία, μία γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ αν τα ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι σημεία του κύκλου.

Ιδιότητες

Η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια της αντίσοιχης εγγεγραμμένης, δηλαδή ${\rm {{\widehat {AO\Gamma }}=2{\widehat {AB\Gamma }}}}$.

• (Σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας) Για κάθε εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$, η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ${\rm {\widehat {AO\Gamma }}}$ είναι διπλάσια.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ επίκεντρης και εγγεραμμένης γωνίας.

Έστω ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ μία γωνία εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$. Θα αποδείξουμε ότι ${\widehat {\rm {AO\Gamma }}}=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$.

Φέρνουμε τις ακτίνες ${\rm {OA,OB,O\Gamma }}$, οι οποίες είναι ίσες. Επομένως, τα τρίγωνα ${\rm {AOB}}$ και ${\rm {BO\Gamma }}$ είναι ισοσκελή. Έτσι προκύπτει ότι

${\rm {{\widehat {OBA}}={\widehat {OAB}}=\varphi }}$

και

${\rm {{\widehat {B\Gamma O}}={\widehat {\Gamma BO}}=\omega }}$.

Αφού οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα $180^{\circ }$, έχουμε ότι ${\widehat {\rm {AOB}}}=180^{\circ }-2\varphi$ και ${\widehat {\rm {BO\Gamma }}}=180^{\circ }-2\omega$. Επομένως,

${\begin{aligned}{\widehat {\rm {AO\Gamma }}}&=360^{\circ }-(180^{\circ }-2\varphi )-(180^{\circ }-2\omega )\\&=2\varphi +2\omega \\&=2\cdot (\varphi +\omega )\\&=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}},\end{aligned}}$

το οποίο είναι το ζητούμενο.

$\square$

Οι εγγεγραμμένες γωνίες (μπλε) είναι όλες ίσες μεταξύ τους και ίσες με το μισό της επίκεντρης (πράσινο).

• (Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα) Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, ίσες εγγεγραμμένες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα.

Απόδειξη  

Σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Σύμφωνα με την ιδιότητα της επίκεντρης γωνίας όλες οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι ίσες. Άρα και όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι ίσες με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης, δηλαδή ίσες μεταξύ τους.

$\square$

Σχέση μεταξύ εγγεγραμμένης γωνίας και γωνίας χορδής και εφαπτομένης.

• (Γωνία χορδής και εφαπτομένης) Η εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ ισούται με την γωνία της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο ${\rm {\Gamma }}$ και της χορδής ${\rm {A\Gamma }}$.

Η διχοτόμος της ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ διέρχεται από το μέσο $\Delta$ του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {A\Gamma }}}$.

• (Διχοτόμος εγγεγραμμένης γωνίας) Η διχοτόμος μιας εγγεγραμμένης γωνίας ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ διέρχεται από το μέσο του αντίστοιχου τόξου ${\overset {\frown }{\rm {A\Gamma }}}$.

Απόδειξη  

Έστω ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}$ μία γωνία εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$. Και έστω ${\rm {\Delta }}$ το μέσο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {A\Gamma }}}$. Τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {A\Delta }}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Delta \Gamma }}}$ είναι ίσα συνεπώς και οι εγγεγραμμένες γωνίες ${\widehat {\rm {AB\Delta }}}$ και ${\widehat {\rm {\Delta B\Gamma }}}$ είναι ίσες καθώς βαίνουν σε ίσα τόξα.

$\square$

Η ${\widehat {\rm {BO\Gamma }}}$ είναι ευθεία γωνία άρα η ${\widehat {\rm {BA\Gamma }}}$ είναι ορθή.

• (Γωνία εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία η οποία βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Απόδειξη  

Σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ίση με $180^{\circ }$ άρα η αντίστοιχη εγγεγραμμένη είναι ίση με $90^{\circ }$, δηλαδή είναι ορθή.

$\square$

Δείτε επίσης

• Επίκεντρη γωνία
• Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο