Λήμμα Χαρούκι

Το λήμμα Χαρούκι λέει ότι ο λογος ${\tfrac {\rm {AK\cdot \Lambda B}}{\rm {K\Lambda }}}$ είναι ανεξάρτητος της θέσης του ${\rm {P}}$ στο τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$.

Στην γεωμετρία, το λήμμα Χαρούκι είναι ένα λήμμα που αφορά δύο μη τεμνόμενες χορδές και ένα μεταβλητό σημείο σε έναν κύκλο.

Συγκεκριμένα, θεωρούμε τις μη τεμνόμενες χορδές ${\rm {AB}}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ενός κύκλου $C$ και ένα μεταβλητό σημείο ${\rm {P}}$ του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ στο οποίο δεν ανήκουν τα ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$. Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {P\Gamma }}$ και ${\rm {P\Delta }}$ τέμνουν την χορδή ${\rm {AB}}$ στα σημεία ${\rm {K}}$, ${\rm {\Lambda }}$ αντίστοιχα, και ορίζουν τρία ευθύγραμμα τμήματα, τα ${\rm {AK}}$, ${\rm {K\Lambda }}$ και ${\rm {\Lambda B}}$. Τότε ο λόγος

${\tfrac {\rm {AK\cdot \Lambda B}}{\rm {K\Lambda }}}$,

είναι ανεξάρτητος από την θέση του ${\rm {P}}$.

Το λήμμα πήρε το όνομά του από τον Ιάπωνα μαθηματικό Χιρόσι Χαρούκι.

Απόδειξη

Το τρίγωνο ${\rm {A\Delta E}}$ είναι σταθερό.

Χαράζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο $C'$ του τριγώνου ${\rm {PK\Delta }}$ τον οποίο τέμνει η προέκταση της ${\rm {AB}}$ στο ${\rm {E}}$.

Οι εγγεγραμμένες γωνίες ${\widehat {\rm {KP\Delta }}}$ και ${\widehat {\rm {KE\Delta }}}$ είναι ίσες διότι βαίνουν στο τόξο ${\overset {\frown }{\rm {K\Delta }}}$. Καθώς το σημείο ${\rm {P}}$ διατρέχει το τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ του κύκλου $C$, η γωνία ${\widehat {\rm {\Gamma P\Delta }}}$ παραμένει σταθερή, καθώς η χορδή ${\rm {\Gamma \Delta }}$ είναι σταθερή άρα και το τόξο ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ είναι σταθερό. Άρα και η γωνία ${\widehat {\rm {KE\Delta }}}$ είναι σταθερή, ως ίση με την ${\widehat {\rm {\Gamma P\Delta }}}$ καθώς βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\overset {\frown }{\rm {K\Delta }}}$ του $C'$.

Επίσης, η γωνία ${\widehat {\rm {\Delta \mathrm {A} \mathrm {E} }}}$ είναι σταθερή διότι βαίνει στο σταθερό τόξο ${\overset {\frown }{\rm {\Delta B}}}$ και επειδή το ${\rm {A\Delta }}$ είναι σταθερό, συνεπώς το τρίγωνο ${\rm {AE\Delta }}$ είναι σταθερό δηλαδή το ${\rm {AE}}$ είναι σταθερό απ΄ όπου συμπεραίνουμε ότι το ${\rm {\ BE}}$ είναι σταθερό ανεξάρτητο της θέσης του ${\rm {P}}$.

Εφαρμόζουμε το θεώρημα των τεμνομένων χορδών στις χορδές ${\rm {P\Delta }}$ και ${\rm {KE}}$ του $C'$, που τέμνονται στο ${\rm {\Lambda }}$ και έχουμε

${\rm {P\Lambda \cdot \Lambda \Delta =K\Lambda \cdot \Lambda \mathrm {E} }}$.

(1)

Εφαρμόζουμε το θεώρημα των τεμνομένων χορδών στις χορδές ${\rm {P\Delta }}$ και ${\rm {AB}}$ του $C$, που τέμνονται στο ${\rm {\Lambda }}$ και έχουμε

${\rm {P\Lambda \cdot \Lambda \Delta =A\Lambda \cdot \Lambda B}}$.

(2)

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των (1) και (2) έχουμε:

${\rm {K\Lambda \cdot \Lambda \mathrm {E} =A\Lambda \cdot \Lambda B}}$

${\rm {K\Lambda \cdot (\Lambda B+BE)=(AK+K\Lambda )\cdot \Lambda B}}$

${\rm {K\Lambda \cdot \Lambda B+K\Lambda \cdot BE=AK\cdot \Lambda B+K\Lambda \cdot \Lambda B}}$

${\rm {K\Lambda \cdot BE=AK\cdot \Lambda B}}$

${\rm {{\frac {AK\cdot \Lambda B}{K\Lambda }}=BE}}$

το οποίο είναι σταθερό ανεξάρτητο από την θέση του ${\rm {P}}$.

$\square$

Εφαρμογές

Το λήμμα Χαρούκι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του θεωρήματος της πεταλούδας.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λήμμα Χαρούκι στο Cut The Knot.
• Λήμμα Χαρούκι και εφαρμογή στο Geogebra.
• Λήμμα Χαρούκι στο Γεωμετρικόν.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bezverkhnyev, Y. (2008). «Haruki’s Lemma and a Related Locus Problem». Forum Geometricorum 8: 63–72. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2024-06-26. https://web.archive.org/web/20240626041349/https://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200809.pdf. Ανακτήθηκε στις 2025-01-30. 
• Aliyev, Yagub N. (2022). «An inequality inspired by Haruki’s Lemma». Parabola 58 (1). https://www.parabola.unsw.edu.au/sites/default/files/2024-02/vol58_no1_10.pdf. 

Δείτε επίσης

• Θεώρημα Χαρούκι
• Θεώρημα τεμνόμενων χορδών
• Θεώρημα πεταλούδας