Περιγράψιμο πολύγωνο

Στην γεωμετρία, ένα πολύγωνο λέγεται περιγράψιμο σε κύκλο αν υπάρχει κύκλος εσωτερικός του πολυγώνου που εφάπτεται σε όλες του τις πλευρές. Ο κύκλος αυτός είναι μοναδικός και λέγεται ο εγγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου. Το πολύγωνο λέγεται ότι είναι περιγεγραμμένο σε αυτόν.

Ένα τρίγωνο, ένα τετράπλευρο και ένα πολύγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο.

Ιδιότητες

• Ένα πολύγωνο είναι περιγράψιμο ανν οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο εσωτερικό σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θα χρησιμοποιήσουμε την βασική ιδιότητα της διχοτόμου μίας γωνίας ότι είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

($\Rightarrow$) Θεωρούμε ένα πολύγωνο του οποίου οι διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο ${\rm {I}}$. Θεωρούμε τις προβολές ${\rm {I}}_{1},\ldots ,{\rm {I}}_{n}$ του ${\rm {I}}$ στις πλευρές ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2},\ldots ,{\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n},{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1}$ του πολυγώνου. Αφού ${\rm {IP}}_{1},\ldots {\rm {IP}}_{n}$ οι διχοτόμοι των γωνιών ${\widehat {\rm {P}}}_{1},\ldots {\widehat {\rm {P}}}_{n}$, ισχύει ότι

${\rm {I_{1}I}}={\rm {I_{2}I}}$,

${\rm {I_{2}I}}={\rm {I_{3}I}}$,

$\qquad \vdots$

${\rm {I}}_{n}{\rm {I}}={\rm {I_{1}I}}$.

Επομένως, ο κύκλος με κέντρο ${\rm {I}}$ και ακτίνα $\rho ={\rm {I_{1}I}}=\ldots ={\rm {I}}_{n}{\rm {I}}$ εφάπτεται στις πλευρές του πολυγώνου.

($\Leftarrow$) Έστω ένα πολύγωνο ${\displaystyle }$ για το οποίο υπάρχει κύκλος με κέντρο ${\rm {I}}$ και ακτίνα $\rho$ που εφάπτεται στις πλευρές του πολυγώνου στα σημεία ${\rm {I}}_{1},\ldots {\rm {I}}_{n}$, δηλαδή ${\rm {I_{1}I}}=\ldots ={\rm {I}}_{n}{\rm {I}}=\rho$. Τότε, από την αντίστροφη ιδιότητα της διχοτόμου, το σημείο ${\rm {I}}$ ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας ${\widehat {\rm {P}}}_{1}$, της γωνίας ${\widehat {\rm {P}}}_{2}$, ... και της γωνίας ${\widehat {\rm {P}}}_{n}$. Συνεπώς, το ${\rm {I}}$ είναι και το σημείο τομής τους.$\quad \square$

• Ένα περιγράψιμο πολύγωνο είναι ισόπλευρο ανν οι εναλλάξ του γωνίες είναι ίσες, δηλαδή ${\widehat {\rm {P}}}_{1}={\widehat {\rm {P}}}_{3}=\ldots$ και ${\widehat {\rm {P}}}_{2}={\widehat {\rm {P}}}_{4}=\ldots$.

Μετρικές σχέσεις

Το θεώρημα Πιτό για πολύγωνα λέει ότι το άθροισμα των μηκών των πράσινων πλευρών είναι ίσο με αυτό των μπλε.

• (Γενίκευση θεωρήματος Πιτό) Σε ένα περιγράψιμο πολύγωνο με $2n$ πλευρές, ισχύει ότι το άθροισμα των περιττών πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των άρτιων πλευρών. Πιο συγκεκριμένα, στο πολύγωνο ${\rm {P}}_{1},{\rm {P}}_{2},\ldots ,{\rm {P}}_{2n}$ ισχύει ότι

${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}+{\rm {P}}_{3}{\rm {P}}_{4}+\ldots +{\rm {P}}_{2n-1}{\rm {P}}_{2n}={\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3}+{\rm {P}}_{4}{\rm {P}}_{5}+\ldots +{\rm {P}}_{2n}{\rm {P}}_{1}=\tau$,

όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.

• Το έγκεντρο ${\rm {I}}$, το κέντρο βάρους $G$ του πολυγώνου και το κέντρο βάρους $G'$ της περιφέρειας του πολυγώνου είναι συνευθειακά και επιπλέον

${\rm {IG'}}={\frac {3}{2}}{\rm {IG}}$.

Εμβαδόν

• Ένα πολύγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\rho$, έχει εμβαδόν ίσο με

${\rm {E}}=\rho \cdot \tau$,

όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Έστω ένα πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}$ περιγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο ${\rm {I}}$ και ακτίνα $\rho$, και σημεία επαφής ${\rm {I}}_{1},{\rm {I}}_{2},\ldots ,{\rm {I}}_{n}$.

Το εμβαδόν του πολυγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των $2n$ ορθογωνίων τριγώνων ${\rm {IP_{1}I}}_{1},{\rm {IP_{2}I}}_{1},\ldots ,{\rm {IP_{n}I}}_{n},{\rm {IP_{1}I}}_{n}$, δηλαδή

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\rm {E}}_{{\rm {IP_{1}I}}_{1}}+{\rm {E}}_{{\rm {IP_{2}I}}_{1}}+\ldots +{\rm {E}}_{{\rm {IP_{n}I}}_{n}}+{\rm {E}}_{{\rm {IP_{1}I}}_{n}}\\&={\frac {1}{2}}\rho \cdot x_{1}+{\frac {1}{2}}\rho \cdot x_{1}+\ldots +{\frac {1}{2}}\rho \cdot x_{n}+{\frac {1}{2}}\rho \cdot x_{n}\\&={\frac {1}{2}}\rho \cdot (2x_{1}+2x_{2}+\ldots +2x_{n})\\&=\rho \cdot \tau ,\end{aligned}}$

καθώς ${\textstyle \tau ={\frac {1}{2}}({\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}+\ldots +{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1})=x_{1}+\ldots +x_{n}}$.$\quad \square$

• Για μία δοσμένη περίμετρο και μία δοσμένη ακολουθία γωνιών, το περιγράψιμο πολύγωνο είναι το πολύγωνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

Ειδικές περιπτώσεις

• Όλα τα τρίγωνα είναι περιγράψιμα, καθώς οι διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο του τριγώνου.
• Στα τετράπλευρα, ισχύουν οι εξής αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι περιγράψιμο:
  • Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν τρεις από τις διχοτόμους του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
  • (Θεώρημα Πιτό) Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι πλευρών είναι το ίδιο.
• Όλα τα κανονικά πολύγωνα είναι περιγράψιμα σε κύκλο.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Klamkin, M. S. (1980). Inequalities for Inscribed and Circumscribed Polygons. 87. The American Mathematical Monthly, σελ. 469-473. doi:10.2307/2320255. 

Δείτε επίσης

• Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Περιγράψιμο τετράπλευρο
• Εγγράψιμο πολύγωνο
• Παρεγγεγραμμένο πολύγωνο
• Περιγράψιμο πολύεδρο