Θεώρημα τεμνουσών

Στην γεωμετρία, το θεώρημα των τεμνουσών είναι μία μετρική σχέση για δύο τέμνουσες ενός κύκλου που διέρχονται από το ίδιο σημείο. Είναι ειδική περίπτωση της δύναμης σημείου ως προς κύκλου.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένας κύκλος με κέντρο ${\rm {O}}$ και δύο τέμνουσες του που διέρχονται από το σημείο ${\rm {P}}$ (εξωτερικό του κύκλου) και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία ${\rm {A,B}}$ και ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ αντίστοιχα. Τότε, ισχύει ότι^[1]^[2]^:311

{\rm {PA\cdot PB=P\Gamma \cdot P\Delta }}

.

Απόδειξη

Η απόδειξη προκύπτει από το γεγονός ότι τα τρίγωνα ${\rm {PB\Gamma }}$ και ${\rm {PA\Delta }}$ είναι όμοια. Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια καθώς έχουν δύο γωνίες ίσες:

${\widehat {\rm {PB\Gamma }}}={\widehat {\rm {P\Delta A}}}$ , ως εγγεγραμμένες γωνίες στο τόξο ${\rm {A\Gamma }}$ , και
η γωνία ${\rm {\hat {P}}}$ είναι κοινή.

Επομένως, έχουμε ότι

{\frac {\rm {PA}}{\rm {P\Gamma }}}={\frac {\rm {P\Delta }}{\rm {PB}}}

.

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση. $\quad \square$

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β'. Αθήνα: Διόφαντος.
↑ Παπανικολάου, Χρήστος Γ. (1971). Στοιχεία γεωμετρίας Μέρος α' επιπεδομετρία. Αθήνα.

[1] Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β'. Αθήνα: Διόφαντος.

[2] Παπανικολάου, Χρήστος Γ. (1971). Στοιχεία γεωμετρίας Μέρος α' επιπεδομετρία. Αθήνα.

[1]

[2]