Μη-τεμνόμενοι κύκλοι

Στην γεωμετρία, δύο κύκλοι λέγονται μη-τεμνόμενοι όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Αυτό γίνεται όταν ο ένας βρίσκεται πλήρως στο εσωτερικό ή πλήρως στο εξωτερικό του άλλου.

Ιδιότητες

• Δύο μη-τεμνόμενοι κύκλοι που ο ένας είναι εσωτερικός του άλλου, δεν έχουν κοινές εφαπτόμενες.
• Δύο μη-τεμνόμενοι κύκλοι που ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου,
  • έχουν δύο εσωτερικές κοινές εφαπτόμενες, και
  • έχουν δύο εξωτερικές κοινές εφαπτόμενες.

Οι εσωτερικές κοινές εφαπτομένες δύο μη-τεμνόμενων κύκλων.

Δύο μη-τεμνόμενοι κύκλοι με τις εξωτερικές τους κοινές εφαπτόμενες.

Μετρικές σχέσεις

Θεωρούμε δύο μη-τεμνόμενους κύκλους $({\rm {O_{1}}},r_{1})$ και $({\rm {O_{2}}},r_{2})$ με διάκεντρο $\delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}$.

• Ισχύει ότι:

$\delta <|r_{1}-r_{2}|$, αν ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός του άλλου, και

$\delta >r_{1}+r_{2}$, αν ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου.

• Έστω $\varepsilon$ μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων και ${\rm {A,B}}$ τα σημεία επαφής με τους δύο κύκλους αντίστοιχα. Τότε,

${\textstyle {\rm {AB}}={\sqrt {\delta ^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}}}}$.

• Έστω $\varepsilon$ μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων και ${\rm {A,B}}$ τα σημεία επαφής με τους δύο κύκλους αντίστοιχα. Τότε,

${\textstyle {\rm {AB}}={\sqrt {\delta ^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το σημείο ${\rm {O_{2}'}}$ στην επέκαση του ${\rm {O_{1}A}}$ ώστε ${\rm {AO_{2}'=BO_{2}}}$. Το τετράπλευρο ${\rm {ABO_{2}O_{2}'}}$ είναι ορθογώνιο, καθώς

• ${\rm {AO_{2}'=BO_{2}}}$
• ${\rm {AO_{2}'\perp AB}}$ και ${\rm {BO_{2}\perp AB}}$.

Επομένως, το ${\rm {O_{1}O_{2}'O_{2}}}$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο και ${\rm {AB=O_{2}'O_{2}}}$.

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {O_{1}O_{2}'O_{2}}}$, έχουμε ότι

${\rm {\delta ^{2}=(O_{1}O_{2}')^{2}+(O_{2}'O_{2})^{2}}}$,

δηλαδή

${\rm {AB}}={\rm {O_{2}'O_{2}}}={\sqrt {\delta ^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}}}$.

Ειδική περίπτωση

• Όταν οι κύκλοι έχουν το ίδιο κέντρο λέγονται ομόκεντροι και είναι μη-τεμνόμενοι όταν έχουν διαφορετικές ακτίνες.

Δείτε επίσης

• Τεμνόμενοι κύκλοι
• Εφαπτόμενοι κύκλοι