Θεώρημα Νοτίου Πόλου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Νοτίου Πόλου λέει ότι σε ένα τρίγωνο, το σημείο τομής της εσωτερικής διχοτόμου μίας γωνίας του και της μεσοκαθέτου της απέναντι πλευράς της είναι σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου.^[1]^:165^[2]^[3]

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB\neq A\Gamma }}$ ,^{[Σημείωση 1]} το σημείο τομής του φορέα της διχοτόμου ${\rm {A\Delta }}$ της ${\hat {\rm {A}}}$ και της μεσοκαθέτου της ${\rm {B\Gamma }}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Ισχύει επίσης ότι το σημείο της τομής του φορέα της εξωτερικής διχοτόμου και της μεσοκαθέτου ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και είναι αντιδιαμετρικό του πρώτου.

Απόδειξη

Έστω ${\rm {AB\Gamma }}$ τρίγωνο με ${\rm {A\Delta }}$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ${\hat {\rm {A}}}$ και ${\rm {E}}$ το σημείο τομής του φορέα της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$ . Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma E}}$ είναι ισοσκελές και επομένως η κάθετη από το ${\rm {E}}$ στο ${\rm {B\Gamma }}$ είναι μεσοκάθετος της ${\rm {B\Gamma }}$ .

Τα τόξα ${\rm {BE}}$ και ${\rm {\Gamma E}}$ είναι ίσα, καθώς σε αυτά βαίνουν ίσες εγγεγραμμένες γωνίες (οι ${\widehat {\rm {BA\Delta }}}$ και ${\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}$ ).
Οι χορδές ${\rm {BE}}$ και ${\rm {\Gamma E}}$ είναι ίσες ως χορδές που βαίνουν σε ίσα τόξα.

Συνεπώς, το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma E}}$ είναι ισοσκελές. $\quad \square$

Επέκταση

Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB\neq A\Gamma }}$ , το σημείο τομής του φορέα της εξωτερικής διχοτόμου της ${\hat {\rm {A}}}$ και της μεσοκαθέτου της ${\rm {B\Gamma }}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.^[3]

Απόδειξη

Έστω ${\rm {AB\Gamma }}$ τρίγωνο και ${\rm {Z}}$ το σημείο τομής του φορέα της εξωτερικής διχοτόμου της ${\hat {\rm {A}}}$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$ . Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma Z}}$ είναι ισοσκελές και επομένως η κάθετη από το ${\rm {Z}}$ στην ${\rm {B\Gamma }}$ είναι μεσοκάθετος της ${\rm {B\Gamma }}$ .

Από τον ορισμό της εξωτερικής διχοτόμου, έχουμε ότι

{\widehat {\rm {\Gamma AZ}}}={\frac {1}{2}}\cdot (180^{\circ }-{\hat {\rm {A}}})=90^{\circ }-{\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}

.

Οι γωνίες ${\widehat {\rm {ZB\Gamma }}}$ και ${\widehat {\rm {ZAB}}}$ είναι ίσες ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Οι γωνίες ${\widehat {\rm {BZ\Gamma }}}$ και ${\hat {\rm {A}}}$ είναι επίσης ίσες ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Τέλος, από το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma Z}}$ ,

{\begin{aligned}{\widehat {\rm {Z\Gamma B}}}&=180^{\circ }-{\widehat {\rm {BZ\Gamma }}}-{\widehat {\rm {Z\Gamma B}}}\\&=180^{\circ }-{\hat {\rm {A}}}-(90^{\circ }-{\frac {\hat {\rm {A}}}{2}})\\&=90^{\circ }-{\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\\&={\widehat {\rm {Z\Gamma B}}}.\end{aligned}}

Συνεπώς, το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma Z}}$ είναι ισοσκελές. $\quad \square$

Δείτε επίσης

Σημειώσεις

↑ Όταν ${\rm {AB=A\Gamma }}$ , τότε η διχοτόμος συμπίπτει με την μεσοκάθετο, επομένως δεν μπορούμε να αναφερθούμε σε σημείο τομής.

Παραπομπές

↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία 1: Τρίγωνα - τετράπλευρα - κύκλος - εγγράψιμα. Σαββάλας.
↑ Dass, H.K.· Verma, Rama· Sharma, Bhagwat S. (2011). S.Chand's Mathematics For Class IX Term II. S. Chand Publishing. σελίδες 165–166. ISBN 978-81-219-3846-4.
1 2 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελ. 129.

[4] Όταν ${\rm {AB=A\Gamma }}$ , τότε η διχοτόμος συμπίπτει με την μεσοκάθετο, επομένως δεν μπορούμε να αναφερθούμε σε σημείο τομής.

[1] Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία 1: Τρίγωνα - τετράπλευρα - κύκλος - εγγράψιμα. Σαββάλας.

[2] Dass, H.K.· Verma, Rama· Sharma, Bhagwat S. (2011). S.Chand's Mathematics For Class IX Term II. S. Chand Publishing. σελίδες 165–166. ISBN 978-81-219-3846-4.

[S73-3] 1 2 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελ. 129.

[1]

[2]

[3]

[Σημείωση 1]