Ριζικός άξονας δύο κύκλων

Στην γεωμετρία, ο ριζικός άξονας δύο κύκλων είναι η ευθεία της οποίας τα σημεία έχουν ίσες δυνάμεις προς τους δύο κύκλους.

Συγκεκριμένα, έστω $C(\mathrm {O} ,\rho )$ και $C'(\mathrm {O'} ,\rho ')$ δύο κύκλοι του ίδιου επιπέδου με $\rho >\rho '$ . Το σύνολο των σημείων του επιπέδου των κύκλων, των οποίων οι δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους είναι ίσες, είναι μία ευθεία $\delta$ κάθετη στην ${\rm {OO'}}$ .^[1]^[2]^[3]^[4]

Απόδειξη

Με χρήση της Δύναμης σημείου ως προς κύκλο

Υποθέτουμε ότι οι κύκλοι $C(\mathrm {O} ,\rho )$ και $C'(\mathrm {O'} ,\rho ')$ δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου και έστω $\mathrm {M}$ ένα σημείο με ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους. Το σημείο $\mathrm {M}$ δεν μπορεί να είναι να είναι εσωτερικό ούτε σημείο ενός από τους κύκλους διότι τότε δεν θα μπορούσε να ισχύσει η ισότητα των δυνάμεων. Έχουμε λοιπόν:

{\rm {MO^{2}-\rho ^{2}=MO'^{2}-\rho '^{2}}}

και με αναδιάταξη έχουμε:

${\rm {MO^{2}-MO'^{2}=\rho ^{2}-\rho '^{2}}}$

(1)

Στο τρίγωνο

{\rm {\mathrm {M} OO'}}

θεωρούμε

{\rm {I}}

το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος

{\rm {OO'}}

και

{\rm {H}}

την προβολή του

\mathrm {M}

επί της

{\rm {OO'}}

. Σύμφωνα με το δεύτερο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο

{\rm {\mathrm {M} OO'}}

ισχύει ότι:

${\rm {MO^{2}-MO'^{2}=2\cdot OO'\cdot IH}}$

(2)

Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των (2) και (3) βρίσκουμε ότι:

${\rm {IH={\frac {\rho ^{2}-\rho '^{2}}{2\cdot OO'}}}}$

(3)

Από την σχέση (3) προκύπτει ότι το σημείο ${\rm {H}}$ (προβολή του $\mathrm {M}$ επί της ${\rm {OO'}}$ ) είναι σταθερό αφού απέχει από το σταθερό σημείο ${\rm {I}}$ (το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {OO'}}$ ) σταθερή απόσταση. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\mathrm {M}$ είναι μία ευθεία $\delta$ κάθετη στην ${\rm {OO'}}$ στο σταθερό σημείο ${\rm {H}}$ . $\quad \square$

Με την χρήση Καρτεσιανών συντεταγμένων

Το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ δύο σημείων με συντεταγμένες ${\rm {M}}(x,y)$ και ${\rm {O(\alpha ,\beta )}}$ ισούται με

d^{2}=(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}

.

Κατά συνέπεια η δύναμη του σημείου ${\rm {M}}(x,y)$ ως προς έναν κύκλο $C(\mathrm {O} ,\rho )$ με κέντρο το σημείο ${\rm {O(\alpha ,\beta )}}$ είναι ίση με

\Delta _{C}^{M}=\delta ^{2}-\rho ^{2}=(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}-\rho ^{2}

και αν αναπτύξουμε τα τετράγωνα έχουμε τη μορφή

\Delta _{C}^{M}=x^{2}+y^{2}-2\alpha \cdot x-2\beta \cdot y+\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\rho ^{2}

ή

$\Delta _{C}^{M}=x^{2}+y^{2}-2\alpha \cdot x-2\beta \cdot y+c$ όπου $c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\rho ^{2}$ .

(1)

Έστω τώρα και ένας δεύτερος κύκλος $C'(\mathrm {O'} ,\rho ')$ με κέντρο το σημείο ${\rm {O'(\alpha ',\beta ')}}$ με $\alpha \neq \alpha '$ ή $\beta \neq \beta '$ ή και τα δύο. Η δύναμη του σημείου ${\rm {M}}(x,y)$ ως προς τον κύκλο αυτόν μπορεί να γραφεί

$\Delta _{C'}^{M}=x^{2}+y^{2}-2\alpha '\cdot x-2\beta '\cdot y+c'$ όπου $c'=\alpha '^{2}+\beta '^{2}-\rho '^{2}$

(2)

Οι δυνάμεις του σημείου ${\rm {M}}$ ως προς του δύο κύκλους είναι ίσες άρα ισχύει:

\Delta _{C}^{M}=\Delta _{C'}^{M}

x^{2}+y^{2}-2\alpha \cdot x-2\beta \cdot y+c=x^{2}+y^{2}-2\alpha '\cdot x-2\beta '\cdot y+c'

$-2\alpha \cdot x-2\beta \cdot y+c=-2\alpha '\cdot x-2\beta '\cdot y+c'$

(3)

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι δύο κύκλοι έχουν τα κέντρα τους στον άξονα $x'x$ δηλαδή είναι $\beta =\beta '=0$ οπότε η σχέση ((3)) γράφεται

-2\alpha \cdot x+c=-2\alpha '\cdot x+c'

και επειδή είναι $\alpha \neq \alpha '$ (καθώς ${\rm {O\neq O'}}$ ) έχουμε

x={\frac {c'-c}{2(\alpha '-\alpha )}}

.

Η ευθεία αυτή, είναι κάθετη στον άξονα $x'x$ και είναι σταθερή. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\mathrm {M}$ είναι ευθεία $\delta$ κάθετη στην ${\rm {OO'}}$ . $\quad \square$

Ειδικές περιπτώσεις

Αν οι δύο κύκλοι εφάπτονται, τότε ο ριζικός άξονας τους είναι η κοινή τους εφαπτομένη.
Αν οι δύο κύκλοι τέμνονται, τότε ο ριζικός άξονας τους είναι η ευθεία που ορίζεται από τα δύο σημεία τομής τους.
Αν ο κύκλος $C'$ βρίσκεται εντός του κύκλου $C$ , τότε ο ριζικός άξονας τους δεν έχει κοινά σημεία με τους δύο κύκλους.

Ριζικός άξονας εφαπτόμενων κύκλων.

Ριζικός άξονας τεμνόμενων κύκλων.

Ριζικός άξονας όπου ο ένας κύκλος είναι εντός του άλλου.

Ριζικό κέντρο τριών κύκλων

Θεώρημα — Θεωρούμε τρεις κύκλους $C_{1}(\mathrm {O_{1}} ,\rho _{1})$ , $C_{2}(\mathrm {O_{2}} ,\rho _{2})$ , $C_{3}(\mathrm {O_{3}} ,\rho _{3})$ , των οποίων τα κέντρα δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αν $\delta _{1}$ είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων $C_{1}$ , $C_{2}$ , $\delta _{2}$ ο ριζικός άξονας των κύκλων $C_{2}$ , $C_{3}$ και τέλος $\delta _{3}$ ο ριζικός άξονας των κύκλων $C_{1}$ , $C_{3}$ οι τρεις ριζικοί άξονες διέρχονται από το ίδιο σημείο ${\rm {K}}$ το οποίο ονομάζεται ριζικό κέντρο των κύκλων $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ .

Απόδειξη

Έστω ${\rm {K}}$ το κοινό σημείο των αξόνων $\delta _{1}$ και $\delta _{2}$ .
Επειδή το ${\rm {K}}$ είναι σημείο του άξονα $\delta _{1}$ ισχύει:

{\Delta }_{C_{1}}^{K}={\Delta }_{C_{2}}^{K}

Επίσης επειδή το ${\rm {K}}$ είναι σημείο του άξονα $\delta _{2}$ ισχύει:

{\Delta }_{C_{2}}^{K}={\Delta }_{C_{3}}^{K}

.

Από τις δύο σχέσεις συμπεραίνουμε ότι:

{\Delta }_{C_{1}}^{K}={\Delta }_{C_{3}}^{K}

.

Άρα το σημείο ${\rm {K}}$ είναι σημείο του άξονα $\delta _{3}$ .

Συνεπώς οι τρεις ριζικοί άξονες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

$\square$

Κατασκευή του ριζικού άξονα δύο κύκλων

Θεωρούμε τους κύκλους $C_{1}(\mathrm {O_{1}} ,\rho _{1})$ , $C_{2}(\mathrm {O_{2}} ,\rho _{2})$ οι οποίοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Χαράζουμε τυχαίο κύκλο $C_{3}(\mathrm {O_{3}} ,\rho _{3})$ ο οποίος τέμνει τον κύκλο $C_{1}$ στα σημεία ${\rm {A,B}}$ και τον κύκλο $C_{2}$ στα σημεία ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ .
Η ευθεία $\delta _{1}$ που διέρχεται από τα σημεία ${\rm {A,B}}$ είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων $C_{1},C_{3}$ . Η ευθεία $\delta _{2}$ που διέρχεται από τα σημεία ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων $C_{2},C_{3}$ .
Έστω ${\rm {K}}$ το σημείο τομής των $\delta _{1},\delta _{2}$ . Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα το σημείο ${\rm {K}}$ είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων $C_{1},C_{2},C_{3}$ .
Αν από το σημείο ${\rm {K}}$ χαράξουμε την ευθεία $\delta _{3}$ κάθετη στην διάκεντrο $\mathrm {{O_{1}}{O_{2}}}$ αυτή είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων $C_{1},C_{2}$ .

Δείτε επίσης

Δύναμη σημείου ως προς κύκλο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Ριζικός άξονας δύο κύκλων στο Φωτόδεντρο.
Ριζικός άξονας δύο κύκλων στο Γεωμετρικόν.
Ριζικός άξονας δύο κύκλων στο Geogebra.
Ριζικός άξονας στο Cut The Knot.
Ριζικός άξονας στο art of problem solving.
Πώς να κατασκευάσετε τον ριζικό άξονα στο Cut The Knot.
Ριζικό κέντρο στο MathWorld.

Παραπομπές

↑ Ταβανλής, Χρήστος. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης. σελίδες 216–219.
↑ Παπανικολάου, Γεώργιος (1966). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Μακρής. σελίδες 295–297.
↑ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1967). Geometry revisited (4th printing έκδοση). Washington (D.C.): the Mathematical association of America. σελίδες 31–34. ISBN 0-88385-619-0.
↑ Pamfilos, Paris (2024). Lectures on Euclidean Geometry - Volume 1 Euclidean Geometry of the Plane. σελίδες 321–326. doi:10.1007/978-3-031-48906-8. ISBN 978-3-031-48905-1.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Ταβανλής, Χρήστος. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης. σελίδες 216–219.

[2] Παπανικολάου, Γεώργιος (1966). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Μακρής. σελίδες 295–297.

[3] Coxeter, Harold Scott Macdonald (1967). Geometry revisited (4th printing έκδοση). Washington (D.C.): the Mathematical association of America. σελίδες 31–34. ISBN 0-88385-619-0.

[4] Pamfilos, Paris (2024). Lectures on Euclidean Geometry - Volume 1 Euclidean Geometry of the Plane. σελίδες 321–326. doi:10.1007/978-3-031-48906-8. ISBN 978-3-031-48905-1.

[1]

[2]

[3]

[4]