Περιγράψιμο τετράπλευρο

Περιγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τα σημεία επαφής ${\rm {I_{\alpha },I_{\beta },I_{\gamma },I_{\delta }}}$ του κύκλου με τις πλευρές του.

Παραγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τα σημεία επαφής ${\rm {I_{\alpha },I_{\beta },I_{\gamma },I_{\delta }}}$ του κύκλου με τις πλευρές του (και τις προεκτάσεις τους).

Στην γεωμετρία, ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε έναν κύκλο, αν και οι τέσσερις πλευρές του εφάπτονται στον κύκλο. Ο κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος του τετραπλεύρου και το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο σε αυτόν.

Όταν ο κύκλος βρίσκεται εξωτερικά του τετραπλεύρου, το τετράπλευρο λέγεται παρεγγεγραμμένο στον κύκλο.

Ιδιότητες

Σε ένα περιγράψιμο τετράπλευρο οι διχοτόμοι τέμνονται στο κέντρο του κύκλου του.

Σε ένα περιγράψιμο τετράπλευρο, ${\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Gamma }}+{\rm {A\Delta }}$.

• Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν οι διχοτόμοι των (εσωτερικών) του γωνιών διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• (Θεώρημα Πιτό) Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι πλευρών είναι το ίδιο.
• Ένα περιγράψιμο τετράπλευρο είναι και εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν τα αποστήματα των απέναντι σημείων επαφής είναι κάθετα μεταξύ τους.

Εμβαδόν

• Το εμβαδόν ενός περιγράψιμου τετραπλεύρου είναι

${\rm {E}}=\tau \cdot \rho$,

όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του, και $\rho$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

• Το εμβαδόν ενός περιγράψιμου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$

${\rm {E}}={\sqrt {\alpha \beta \gamma \delta }}\cdot \sin {\tfrac {\rm {A+\Gamma }}{2}}$.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου είναι ίση με

$\rho ={\sqrt {\frac {wxy+xyz+yzw+zwx}{w+x+y+z}}}$.

• Οι διαγώνιοι του δίνονται από τις σχέσεις

${\rm {A\Gamma }}={\sqrt {{\frac {x+z}{w+y}}\cdot ((x+z)\cdot (w+y)+4wy)}}$,

και

${\rm {B\Delta }}={\sqrt {{\frac {w+y}{x+z}}\cdot ((x+z)\cdot (w+y)+4xz)}}$.

Ειδικές περιπτώσεις

• Το δελτοειδές είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Ειδικές περιπτώσεις αυτού είναι ο ρόμβος και το τετράγωνο.

Δείτε επίσης

• Εγγράψιμο τετράπλευρο
• Παρεγγεγραμμένο τετράπλευρο

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Minculete, Nicusor (2009). «Characterizations of a tangential quadrilateral». Forum Geometricorum (9): 113-118. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2024-06-25. https://web.archive.org/web/20240625043007/https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200910.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28. 
• Josefsson, Martin (2011). «More characterizations of tangential quadrilaterals». Forum Geometricorum (11): 65-82. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-03. https://web.archive.org/web/20230103062731/https://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-03-01.