Γεωμετρικός τόπος

Στην γεωμετρία, γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο των σημείων του οποίου όλα τα σημεία και μόνον αυτά, ικανοποιούν μία κοινή ιδιότητα.

Η μεσοκάθετος $\varepsilon$ του ${\rm {AB}}$.

Κάθε σημείο ${\rm {\Sigma }}$ της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα $A,B$, δηλαδή ${\rm {\Sigma A=\Sigma B}}$.

Για παράδειγμα, στην επιπεδομετρία, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν ορισμένη απόσταση $\rho$ από το σταθερό σημείο ${\rm {O}}$, είναι ο κύκλος με κέντρο το ${\rm {O}}$ και ακτίνα ίση με $\rho$.

Ένα άλλο παράδειγμα, είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, που ισαπέχουν από δύο σταθερά σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$, είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ (δηλαδή η μεσοκάθετός του). Αυτό σημαίνει δύο πράγματα:

1. κάθε σημείο ${\rm {\Sigma }}$ της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$, δηλαδή ${\rm {\Sigma A=\Sigma B}}$, και επιπλέον
2. κάθε σημείο ${\rm {P}}$ του επιπέδου που ισαπέχει από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ (δηλαδή με ${\rm {PA=PB}}$) ανήκει στην μεσοκάθετό του.

Με την θεμελίωση της γεωμετρίας χρησιμοποιώντας θεωρία συνόλων, η έννοια του γεωμετρικού τόπου στην ουσία ταυτίζεται με τον ορισμό ενός γεωμετρικού σχήματος που είναι ένα σύνολο σημείων. Αλλά η μελέτη ενός γεωμετρικού τόπου αναφέρεται πιο γενικά από τον ορισμό ενός γεωμετρικού σχήματος και διαφέρει στα εξής:

1. Στοχεύει στην ανάλυση του γεωμετρικού τόπου σε βασικά σχήματα (κύκλοι, ευθείες, πολύγωνα, ..) και τον προσδιορισμό τους

   Για παράδειγμα, ο ορισμός

   { όλα τα σημεία ${\rm {P}}$ που ανήκουν στην κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ${\rm {AB}}$ }

   προσδιορίζει το σχήμα πιο συγκεκριμένα τον ισοδύναμο ορισμό

   { όλα τα σημεία ${\rm {P}}$ που ικανοποιούν ${\rm {PA=PB}}$ }

2. Στοχεύει στην διευρεύνηση των διαφορετικών περιπτώσεων σε σχέση με τα δοθέντα σχήματα και παραμέτρους:

   Για παράδειγμα, αν ψάχνουμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που οι αποστάσεις τους έχουν σταθερό λόγο $\lambda$ από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ τότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

   Αν ο λόγος είναι $\lambda =1$ τότε είναι ο τόπος είναι η μεσοκάθετος.

   Αν ο λόγος είναι $\lambda \neq 1$ τότε είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

   Η μελέτη και η κατανόηση των διαφορετικών περιπτώσεων για έναν γεωμετρικό τόπο

Στοιχειώδεις γεωμετρικοί τόποι

Κύκλος

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το σταθερό σημείο ${\rm {O}}$ δεδομένη απόσταση ίση με $\rho$ είναι ο κύκλος (${\rm {O}}$,$\rho$) .

Κύκλος με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $\rho$.

Μεσοκάθετη ευθυγράμμου τμήματος

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο σταθερά σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$, είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$.

Η μεσοκάθετη του ${\rm {AB}}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$.

Ημιεπίπεδο

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {M}}$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ${\rm {MA<MB}}$ όπου ${\rm {A,B}}$ δύο σταθερά σημεία, είναι το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο και περιέχει το ${\rm {A}}$.

Το ημιεπίπεδο που περιέχει το ${\rm {A}}$, είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων με ${\rm {MA<MB}}$.

Διχοτόμος γωνίας

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων μιας γωνίας ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$, που ισαπέχουν από τις πλευρές της, ${\rm {O}}x$ και ${\rm {O}}y$ είναι η διχοτόμος της γωνίας.

Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.

Μεσοπαράλληλος ευθειών

Ο γεωμετρικός τόπος των σημειων του επιπεδου που ισαπέχουν απο δύο δεδομένες παράλληλες ευθείες, είναι η μεσοπαράλληλος των δυο ευθειών.

Η μεσοπαράλληλη $\mu$ δύο παράλληλων ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ αποτελείται από όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

Ζεύγος παραλλήλων ευθειών

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία απέχουν ορισμένη απόσταση $d$ από μία σταθερή ευθεία του επιπέδου, είναι δύο ευθείες παράλληλες προς την ευθεία και σε απόσταση ίση με $d$.

Το ζεύγος των δύο παράλληλων ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ αποτελείται από όλα τα σημεία που ισαπέχουν απόσταση $d$ από την $\mu$.

Σημεία που ισαπέχουν από τις κορυφές ενός τριγώνου

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις κορυφές ενός τριγώνου είναι το περίκεντρο του τριγώνου.

Αυτό προκύπτει καθώς τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα των τριών πλευρών είναι οι μεοσκάθετοι των αντίστοιχων πλευρών. Άρα τα κοινά σημεία αυτών ισαπέχουν και από τις τρεις κορυφές. Καθώς αυτές συντρέχουν στο περίκεντρο ${\rm {O}}$, ο γεωμετρικός τόπος είναι το $\{{\rm {O\}}}$.

Το περίκεντρο είναι το μοναδικό σημείο που ισαπέχει από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.

Σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές ενός τριγώνου

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τους φορείς των πλευρών ενός τριγώνου είναι το έγκεντρο και τα παράκεντρα του τριγώνου, δηλαδή το σύνολο $\{{\rm {I,I_{A},I_{B},I_{\Gamma }\}}}$.

Το έγκεντρο και τα παράκεντρα του τριγώνου είναι τα μοναδικά σημεία που ισαπέχουν από τους φορείς των πλευρών του.

Απολλώνιος κύκλος

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {P}}$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ${\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k$ όπου $k\neq 1$ ο σταθερός λόγος και ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$ δύο σταθερά σημεία, είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Ο Απολλώνιος κύκλος του ${\rm {AB}}$ για κάποιο $k>1$. Όλα τα σημεία ${\rm {P}}$ του κύκλου ικανοποιούν την σχέση ${\textstyle {\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k}$.

Αναλυτική γεωμετρία

Στην αναλυτική γεωμετρία οι γεωμετρικοί τόποι παριστάνονται μαθηματικά από μία εξίσωση την οποία ικανοποιούν οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο. Δεδομένου ενός καρτεσιανού συστήματος αξόνων, και του επιπέδου που ορίζει αυτό, κάθε σημείο αυτού του επιπέδου ορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος $(x,y)$. Όλες οι λύσεις της εξίσωσης ενός γεωμετρικού τόπου αποτελούν τιμές για το $x$ και το $y$ του ζεύγους αυτού, και άρα σημεία του επιπέδου.

Για παράδειγμα, για τον κύκλο, η εξίσωση είναι:

$(x-x_{\rm {K}})^{2}+(y-y_{\rm {K}})^{2}=\rho ^{2}$

όπου $\rho$ είναι η ακτίνα του κύκλου και $(x_{\rm {K}},y_{\rm {K}})$ το κέντρο του.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος
• Παραδείγματα δύο γέωμετρικών τόπων: εδώ και εδώ
• Διαδραστική εφαρμογή για την μεσοκάθετο

Ελληνικά άρθρα

• Ν. Κυλιντηρέας; Ν. Μαρκάκης (1980). «Για την Α'Τάξη: Γεωμετρία». Ευκλείδης Β΄ (5): 6-8. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4312. 
• Γ. Ντάνης (1983). «Οι Γεωμετρικοί Τόποι και η Αντιμετώπισή τους». Ευκλείδης Β΄ (1): 16-20. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2747. 
• Ν. Κισκύρας (1983). «Ένας γεωμετρικός τόπος». Ευκλείδης Β΄ (1): 20-21. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2748. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Smith, Charlotte (Ιανουαρίου 1912). «362. [K. b. j. Locus of orthocentre»]. The Mathematical Gazette 6 (96): 221–221. doi:10.2307/3604309. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1912-01_6_96/page/221. 
• Grant, M. A. (Ιουνίου 1985). «A locus problem». The Mathematical Gazette 69 (448): 91–95. doi:10.2307/3616923. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1985-06_69_448/page/91. 
• Leach, E. B. (Νοεμβρίου 1956). «Finding the Cartesian Equation of a Locus». The American Mathematical Monthly 63 (9): 661. doi:10.2307/2310599. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1956-11_63_9/page/661. 
• John E. Wetzel (2010). «An Ancient Elliptic Locus». The American Mathematical Monthly 117 (2): 161. doi:10.4169/000298910X476068. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2010-02_117_2/page/161.