Δεύτερο θεώρημα διαμέσων

Τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με διάμεσο ${\rm {AM}}$ και ύψος ${\rm {AH}}$.

Στην γεωμετρία, το δεύτερο θεώρημα διαμέσων ονομάζεται το θεώρημα που σχετίζει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και την απόσταση του μέσου μίας πλευράς από το ίχνος του αντίστοιχου ύψους.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {A\Gamma >AB}}$, με διάμεσο την ${\rm {AM}}$ και ύψος ${\rm {AH}}$, ισχύει ότι

${\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=2\cdot B\Gamma \cdot MH}}$.

Το θεώρημα αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος Στιούαρτ.

Αποδείξεις

Σχήμα απόδειξης δεύτερου θεωρήματος διαμέσων.

Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με ${\rm {A\Gamma >AB}}$. Φέρνουμε την διάμεσο $\mathrm {AM}$ και το ύψος $\mathrm {AH}$. Θα αποδείξουμε ότι

${\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=2\cdot B\Gamma \cdot MH}}$

Τα τρίγωνα $\mathrm {ABM}$ και $\mathrm {A\Gamma M}$ έχουν,

• Την $\mathrm {AM}$ κοινή πλευρά,
• $\mathrm {BM=M\Gamma }$ και
• ${\rm {A\Gamma >AB}}$.

Συνεπώς είναι ${\widehat {\rm {AM\Gamma }}}>{\widehat {\rm {AMB}}}$ και επειδή οι δύο αυτές γωνίες είναι παραπληρωματικές και άνισες, συμπεραίνουμε ότι η ${\widehat {\rm {AM\Gamma }}}$ είναι αμβλεία και η ${\widehat {\rm {AMB}}}$ οξεία.

Από την επέκταση του Πυθαγορείου θεωρήματος στο αμβλυγώνιο τρίγωνο $\mathrm {A\Gamma M}$ και στο οξυγώνιο τρίγωνο $\mathrm {ABM}$ έχουμε τις σχέσεις,

${\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+M\Gamma ^{2}+2\cdot M\Gamma \cdot MH}}$.

${\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot MB\cdot MH}}$.

Αφαιρούμε κατα μέλη και επειδή είναι $\mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma }$ λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση

${\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=2\cdot B\Gamma \cdot MH}}$.

$\square$

Απόδειξη με νόμο συνημιτόνων  

Σχήμα απόδειξης.

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {A\Gamma >AB}}$, διάμεσο την ${\rm {AM}}$ και ύψος ${\rm {AH}}$.

Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\rm {AMB}}$ με $\varphi ={\hat {\rm {AMB}}}$, έχουμε ότι

${\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \varphi }}$,

και στο τρίγωνο ${\rm {AM\Gamma }}$ με ${\hat {\rm {AM\Gamma }}}=180^{\circ }-\varphi$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {A\Gamma ^{2}}}&={\rm {AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB\cdot (180^{\circ }-\varphi )}}\\&={\rm {AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \varphi .}}\end{aligned}}$

Παίρνοντας την διαφορά για των δύο παραπάνω σχέσεων, έχουμε ότι

${\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=4\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \varphi =2\cdot B\Gamma \cdot MH}}$,

ολοκληρώνοντας την απόδειξη. $\square$

Απόδειξη με διανύσματα  

Ξεκινάμε γράφοντας τα διανύσματα των πλευρών ${\vec {\rm {AB}}}$ και ${\vec {\rm {A\Gamma }}}$ ως εξής

${\vec {\rm {AB}}}={\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {MB}}}$,

και

${\vec {\rm {A\Gamma }}}={\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {M\Gamma }}}={\vec {\rm {AM}}}-{\vec {\rm {MB}}}$,

χρησιμοποιώντας ότι το ${\rm {M}}$ είναι το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$ και έτσι ${\vec {\rm {MB}}}=-{\vec {\rm {M\Gamma }}}$.

Επομένως, χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο, η διαφορά των τετραγώνων των δύο πλευρών μπορεί να γραφτεί ως εξής:

${\begin{aligned}{\rm {AB}}^{2}-{\rm {A\Gamma }}^{2}&=({\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {MB}}})\cdot ({\vec {\rm {AM}}}+{\vec {\rm {MB}}})\\&\qquad -({\vec {\rm {AM}}}-{\vec {\rm {MB}}})\cdot ({\vec {\rm {AM}}}-{\vec {\rm {MB}}})\\&={\rm {AM}}^{2}+2\cdot {\vec {\rm {AM}}}\cdot {\vec {\rm {MB}}}+{\rm {MB}}^{2}\\&\qquad -{\rm {AM}}^{2}+2\cdot {\vec {\rm {AM}}}\cdot {\vec {\rm {MB}}}-{\rm {MB}}^{2}\\&=4\cdot {\vec {\rm {AM}}}\cdot {\vec {\rm {MB}}}\\&=4\cdot {\vec {\rm {AM}}}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\vec {\rm {B\Gamma }}}\\&=2\cdot {\rm {B\Gamma }}\cdot {\rm {MH}},\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με την προβολή του ${\rm {AM}}$ στο ${\rm {B\Gamma }}$.$\quad \square$

Εναλλακτικές διατυπώσεις

Στην γαλλική βιβλιογραφία που το θεώρημα αναφέρεται ως τρίτο θεώρημα διαμέσων, συνήθως διατυπώνεται ισοδύναμα με την χρήση απόλυτης τιμής ως εξής:

Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με διάμεσο την ${\rm {AM}}$ και ύψος ${\rm {AH}}$, ισχύει ότι

$\left|{\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}}}\right|={\rm {2\cdot B\Gamma \cdot MH}}$.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος τριγώνου
• Πρώτο θεώρημα διαμέσων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Νόμος των συνημιτόνων
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Θεώρημα του Όιλερ (τετράπλευρα)