Διάκεντρος κύκλων

Διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων.

Διάκεντρος δύο μη-τεμνόμενων κύκλων.

Στην γεωμετρία, η διάκεντρος δύο κύκλων είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων.^[1]^:57-58^[2]^:92

Πιο συγκεκριμένα, η διάκεντρος δύο κύκλων με κέντρα ${\rm {O_{1}}}$ και ${\rm {O_{2}}}$ είναι το ευθύγραμμο $\delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}$ .

Ιδιότητες

Έστω δύο τεμνόμενοι κύκλοι με σημεία τομής τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ . Η ευθεία της διακέντρου των κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής τους χορδής ${\rm {AB}}$ .

Απόδειξη

Το κέντρο ${\rm {O_{1}}}$ ισαπέχει από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ και το κέντρο ${\rm {O_{2}}}$ ισαπέχει από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ . Συνεπώς η ευθεία της διακέντρου είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής ${\rm {AB}}$ .

Η ευθεία της διακέντρου είναι άξονας συμμετρίας των δύο κύκλων.

Απόδειξη

Έστω ένα σημείο ${\rm {M}}$ σε έναν από τους δύο κύκλους. Από το ${\rm {M}}$ φέρνουμε την κάθετο προς την διάκεντρο η οποία την τέμνει έστω στο σημείο ${\rm {N}}$ . Προεκτείνουμε την ${\rm {MN}}$ η οποία τέμνει τον κύκλο έστω στο ${\rm {M'}}$ .

Η χορδή ${\rm {MM'}}$ είναι κάθετη στην διάκεντρο άρα κάθετη και σε διάμετρο του κύκλου, συνεπώς είναι ${\rm {MN=NM'}}$ δηλαδή τα σημεία ${\rm {M,M'}}$ είναι συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας την διάκεντρο των δύο κύκλων.

Απόσταση δύο κύκλων ονομάζεται η ελάχιστη απόσταση δύο σημείων τους, και είναι ίση με το μήκος τμήματος ${\rm {AB}}$ της διακέντρου, όπως φαίνεται στο σχήμα.^[2]^: 105-106

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

Έστω δύο κύκλοι $({\rm {O_{1}}},R),({\rm {O_{2}}},r)$ με $R\geq r$ και με διάκεντρο $\delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}$ . Αυτοί μπορεί να^[3]^:51^[1]^: 57-58^[2]^: 103

	Κοινά σημεία	Διάκεντρος
είναι ομόκεντροι	άπειρα ( $R=r$ ) κανένα ( $R\neq r$ )	$\delta =0$
τέμνονται	δύο	$R-r<\delta <R+r$
εφάπτονται εσωτερικά	ένα	$\delta =R-r$
εφάπτονται εξωτερικά	ένα	$\delta =R+r$
βρίσκονται ο ένας μέσα στον άλλο	κανένα	$\delta <R-r$
βρίσκονται ο ένας έξω από τον άλλο	κανένα	$\delta >R+r$

Δείτε επίσης

Παραπομπές

1 2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία 1. Ι. Χιωτέλη.
1 2 3 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελ. 37.
↑ Ντάνης, Γιάννης Α. Γεωμετρία: η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας. Gutenberg.

[Tav-1] 1 2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία 1. Ι. Χιωτέλη.

[S73-2] 1 2 3 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελ. 37.

[D-3] Ντάνης, Γιάννης Α. Γεωμετρία: η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας. Gutenberg.

[1]

[2]

[3]