Θεώρημα φαν Σχόοτεν

Για σημείο $\mathrm {P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ ισχύει ότι $\mathrm {PA} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma }$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα φαν Σχόοτεν (αναφέρεται και ως θεώρημα van Schooten) λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου, ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων του από τις άλλες δύο.

Συγκεκριμένα, σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, έστω ένα σημείο ${\rm {P}}$ του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {B\Gamma }}}$. Τότε, ${\rm {PA}}={\rm {PB}}+{\rm {P\Gamma }}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Φρανς φαν Σχόοτεν.

Αποδείξεις

Απόδειξη με θεώρημα Πτολεμαίου  

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {ABP\Gamma }}$ έχουμε ότι

$\mathrm {PA} \cdot \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {PB} \cdot \mathrm {A\Gamma } +\mathrm {P\Gamma } \cdot \mathrm {AB} .$

Αφού το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ισόπλευρο έχουμε ότι $\mathrm {AB} =\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Gamma }$. Απαλείφοντας τους κοινούς όρους από την προηγούμενη σχέση, καταλήγουμε ότι

$\mathrm {PA} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } .$

$\square$

Απόδειξη με στοιχειώδη γεωμετρία  

Θεωρούμε το σημείο $\mathrm {E}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ώστε ${\widehat {\rm {PBE}}}=60^{\circ }$. Τότε, ${\widehat {\rm {APB}}}={\widehat {\rm {A\Gamma B}}}=60^{\circ }$ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως, το τρίγωνο $\mathrm {\Delta BP}$ είναι ισόπλευρο.

Αντίστοιχα, ${\widehat {\rm {AEB}}}={\widehat {\rm {APB}}}=60^{\circ }$ και ${\widehat {\rm {PAE}}}={\widehat {\rm {PBE}}}=60^{\circ }$. Επομένως, το τρίγωνο $\mathrm {AE\Delta }$ είναι ισόπλευρο.

Αφού ${\widehat {\mathrm {PB\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {PB\Delta } }}-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}=60^{\circ }-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}$ και ${\widehat {\rm {ABE}}}={\widehat {\rm {AB\Gamma }}}-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}=60^{\circ }-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}$, έχουμε ότι $\mathrm {AE} =\mathrm {P\Gamma }$ ως χορδές στις οποίες βαίνουν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες. Άρα και ${\rm {P\Gamma =\Delta E}}$.

Καταλήγουμε ότι

$\mathrm {PA} =\mathrm {P\Delta } +\mathrm {\Delta A} =\mathrm {PB} +\mathrm {\Delta E} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } .$

$\square$

Δείτε επίσης

• Θεώρημα του Πτολεμαίου
• Θεώρημα Pompeiu
• Ισόπλευρο τρίγωνο
• Περιγεγραμμένος κύκλος

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα φαν Σχόοτεν και Πομπέγιου στο Cut The Knot.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Viglione, Raymond (Απριλίου 2016). «Proof Without Words: van Schooten's Theorem». Mathematics Magazine 89 (2): 132–132. doi:https://doi.org/10.4169/math.mag.89.2.132. 
• Sandor, Jozsef (2005). «On the Geometry of Equilateral Triangles». Forum Geometricorum 5: 107–117. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-20. https://web.archive.org/web/20230120072513/https://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514.pdf.