Θεώρημα Στάινερ (λόγοι)

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Στάινερ (αναφέρεται και ως θεώρημα Steiner) λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με σημεία ${\rm {\Delta }}$ και ${\rm {E}}$ στην ${\rm {B\Gamma }}$ ώστε οι ημιευθείες των ${\rm {A\Delta }}$ και ${\rm {AE}}$ είναι ισογώνιες, ισχύει ότι^[1]^[2]^[3]^:226

{\frac {\rm {B\Delta }}{\Gamma \Delta }}\cdot {\frac {\rm {BE}}{\rm {\Gamma E}}}={\frac {\rm {AB^{2}}}{\rm {A\Gamma ^{2}}}}

.

Πόρισμα

Χρησιμοποιώντας ότι σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ η συμμετροδιάμεσος ${\rm {A\Sigma _{\alpha }}}$ είναι ισογώνια της διαμέσου ${\rm {AM_{\alpha }}}$ , έχουμε ότι ένα σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην συμμετροδιάμεσο ανν

{\frac {\rm {BP}}{\rm {\Gamma P}}}={\frac {\rm {AB^{2}}}{\rm {A\Gamma ^{2}}}}

.

Το πόρισμα αυτό χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι οι τρεις συμμετροδιάμεσοι ενός τριγώνου συντρέχουν στο σημείο Λεμουάν

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Θεώρημα λόγων Στάινερ στο Cut The Knot.

Παραπομπές

↑ Luo, Sammy; Pohoata, Cosmin (2013). «Let's Talk About Symmedians!». Mathematical Reflections (4): 1-11.
↑ Μπραζιτίκος, Σιλουανός· Στεργίου, Μπάμπης. «Γεωμετρία για Θαλή - Ευκλείδη Β΄ και Γ΄ Λυκείου» (PDF). σελίδες 34–35.
↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνο Πολύγωνα - Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας.