Σημείο Μικέλ (τρίγωνο)

Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ${\rm {AB'\Gamma '}}$, ${\rm {A'B\Gamma '}}$ και ${\rm {A'B'\Gamma }}$ τέμνονται στο σημείο Μικέλ ${\rm {M}}$.

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ αν ${\rm {A',B',\Gamma '}}$ σημεία των πλευρών ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {AB}}$ αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ${\rm {AB'\Gamma '}}$, ${\rm {A'B\Gamma '}}$ και ${\rm {A'B'\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεταi σημείο Μικέλ και οι τρεις κύκλοι, κύκλοι Μικέλ (αναφέρονται και ως σημείο Miquel και κύκλοι Miquel αντίστοιχα).

Το σημείο και οι κύκλοι φέρουν το όνομα του Ωγκύστ Μικέλ, που δημοσίευσε το σχετικό θεώρημα το 1838.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε ${\rm {M'\neq A'}}$ το σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των ${\rm {B\Gamma 'A'}}$ και ${\rm {\Gamma A'B'}}$. Θα δείξουμε ότι το ${\rm {AB'M'\Gamma '}}$ είναι εγγράψιμο, που αποδεικνύει ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ${\rm {AB'M'\Gamma '}}$ διέρχεται από το ίδιο σημείο ${\rm {M'}}$.

Η απόδειξη προκύπτει από την αναγκαία και ικανή συνθήκη για ένα τετράπλευρο να είναι εγγεγραμμένο αν μία εκ των γωνιών του είναι ίση με την εξωτερική της απέναντι.

Από το εγγράψιμο ${\rm {A'M'B'\Gamma }}$, έχουμε ότι

${\widehat {\rm {M'A'\Gamma }}}={\widehat {\rm {AB'M'}}}$,

και από το εγγράψιμο ${\rm {A'B\Gamma 'M'}}$,

${\widehat {\rm {B\Gamma 'M'}}}={\widehat {\rm {M'A'\Gamma '}}}$.

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, ${\widehat {\rm {AB'M'}}}={\widehat {\rm {B\Gamma 'M'}}}$ και το ${\rm {AB'M'\Gamma '}}$ είναι εγγράψιμο.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα Μικέλ (τετράπλευρο)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Σημείο Μικέλ στο Γεωμετρικόν.
• Διαδραστική εφαρμογή για το σημείο Miquel στο Geogebra.
• Σημείο Μικέλ στο Cut The Knot.