Νόμος των εφαπτομένων

Τρίγωνο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$.

Στην γεωμετρία, ο νόμος των εφαπτομένων σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι η σχέση

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}}$,

όπου $\alpha ,\beta$ οι πλευρές απέναντι από τις γωνίες ${\hat {\rm {A}}}$ και ${\hat {\rm {B}}}$.

Αποδείξεις

Απόδειξη με νόμο των ημιτόνων  

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι

${\frac {\alpha }{\sin {\hat {\mathrm {A} }}}}={\frac {\beta }{\sin {\hat {\mathrm {B} }}}}=d,$

όπου $d$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι

$\alpha =d\sin {\hat {\mathrm {A} }}$,

(1)

και

$\beta =d\sin {\hat {\mathrm {B} }}$.

(2)

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς τύπους για το άθροισμα και την διαφορά δύο ημιτόνων

$\sin {\hat {\rm {A}}}+\sin {\hat {\rm {B}}}=2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)\quad$

(3)

και

$\sin {\hat {\rm {A}}}-\sin {\hat {\rm {B}}}=2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)$.

(4)

Για να αποδείξουμε τον νόμο των εφαπτομένων ξεκινάμε από το αριστερό μέλος και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1) και (2),

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {d\sin {\hat {\rm {A}}}-d\sin {\hat {\rm {B}}}}{d\sin {\hat {\rm {A}}}+d\sin {\hat {\rm {B}}}}}={\frac {\sin {\hat {\rm {A}}}-\sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}+\sin {\hat {\rm {B}}}}}.$

Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3) και (4), έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}&={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}{2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}}\\&={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}}\\&={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}},\end{aligned}}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Απόδειξη με τύπους Μολβάιντε  

Οι τύποι Μολβάιντε είναι οι εξής

${\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)$,

και

${\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)$.

Διαιρώντας και τους δύο τύπους κατά μέλη, έχουμε ότι

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cot {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)$.

Αφού ${\hat {\mathrm {A} }},{\hat {\mathrm {B} }},{\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ είναι γωνίες τριγώνου έχουμε ότι ${\hat {\rm {\Gamma }}}=\pi -({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})$. Χρησιμοποιώντας ότι $\tan \varphi =\tan(\pi -\varphi )$, λαμβάνουμε ότι

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}}$.

Απόδειξη χωρίς λόγια  

Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu

Δείτε επίσης

• Νόμος των ημιτόνων
• Νόμος των συνημιτόνων