Θεώρημα Στάινερ-Λέχμους

Το θεώρημα Στάινερ-Λέχμους, δηλώνει ότι αν οι διχοτόμοι ${\rm {B\Delta _{B}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ${\rm {AB=A\Gamma }}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Στάινερ-Λέχμους (αναφέρεται και ως θεώρημα Steiner-Lehmus) λέει ότι αν σε ένα τρίγωνο δύο διχοτόμοι του είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ οι διχοτόμοι ${\rm {B\Delta _{B}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ${\rm {AB=A\Gamma }}$.

Το αντίστροφο του θεωρήματος προκύπτει εύκολα καθώς η μεσοκάθετος της ${\rm {B\Gamma }}$ είναι και άξονας συμμετρίας του τριγώνου.

Το θεώρημα προτοαναφέρθηκε το 1840 σε ένα γράμμα από τον Σ. Λ. Λέχμους στον Ζακ Σαρλ Φρανσουά Στουρμ, στο οποίο ρωτούσε αν υπάρχει καθαρά γεωμετρική απόδειξη. Ο Στουρμ ρώτησε άλλους μαθηματικούς και από αυτούς ο Γιάκομπ Στάινερ ήταν από τους πρώτους που έδωσε λύση. Το θεώρημα έγινε ένα σχετικά διάσημο θέμα στην στοιχειώδη γεωμετρία και έχουν δημοσιευθεί αρκετές αποδείξεις πάνω σε αυτό. Ενδεικτικά ο Henderson δίνει 10 αποδείξεις και ο McBride αναφέρει 60 αποδείξεις.

Αποδείξεις

Απόδειξη  

Ως εφαρμογή του θεωρήματος Στιούαρτ έχουμε ότι τα μήκη των διχοτόμων $\delta _{\beta }$ και $\delta _{\gamma }$ είναι ίσα με

$\delta _{\beta }^{2}=\alpha \gamma \cdot \left(1-{\frac {\beta ^{2}}{(\alpha +\gamma )^{2}}}\right)=\alpha \gamma \cdot {\frac {(\alpha +\beta +\gamma )\cdot (\alpha -\beta +\gamma )}{(\alpha +\gamma )^{2}}}.$

και

$\delta _{\gamma }^{2}=\alpha \beta \cdot \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right)=\alpha \beta \cdot {\frac {(\alpha +\beta +\gamma )\cdot (\alpha +\beta -\gamma )}{(\alpha +\beta )^{2}}}.$

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με $\delta _{\beta }=\delta _{\gamma }$, έχουμε ότι

$\gamma \cdot {\frac {\alpha -\beta +\gamma }{(\alpha +\gamma )^{2}}}=\beta \cdot {\frac {\alpha +\beta -\gamma }{(\alpha +\beta )^{2}}}$

$\gamma \cdot (\alpha -\beta +\gamma )(\alpha +\beta )^{2}=\beta \cdot (\alpha +\beta -\gamma )(\alpha +\gamma )^{2}$

$\gamma \cdot (-\beta +\gamma )(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \gamma \cdot (\alpha +\beta )^{2}=\beta \cdot (\beta -\gamma )(\alpha +\gamma )^{2}+\alpha \beta \cdot (\alpha +\gamma )^{2}$

$0=(\beta -\gamma )\cdot \left(\beta (\alpha +\gamma )^{2}+\gamma (\alpha +\beta )^{2}\right)+\alpha \beta \cdot (\alpha +\gamma )^{2}-\alpha \gamma \cdot (\alpha +\beta )^{2}$

$0=(\beta -\gamma )\cdot \left(\beta (\alpha +\gamma )^{2}+\gamma (\alpha +\beta )^{2}\right)+\alpha ^{3}\beta +2\alpha ^{2}\beta \gamma +\alpha \beta \gamma ^{2}-\alpha ^{3}\gamma -2\alpha ^{2}\beta \gamma -\alpha \beta ^{2}\gamma$

$0=(\beta -\gamma )\cdot \left(\beta (\alpha +\gamma )^{2}+\gamma (\alpha +\beta )^{2}+\alpha ^{3}-\alpha \beta \gamma \right)$.

Καθώς $\alpha \beta \gamma <2\alpha \beta \gamma <\gamma (\alpha +\beta )^{2}$ καταλήγουμε ότι ο δεύτερος όρος είναι πάντα θετικός άρα

$\beta -\gamma =0$

δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Μαργαρώνης, Φάνης (Ιουνίου 2020). «Modus ponens, modus tollens, reductio ad absurdum και Steiner-Lehmus Μελέτη μερικών κλασικών αποδείξεων μιας διάσημης γεωμετρικής πρότασης». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (22): 1-15. http://ekthetis.gr/Ekthetis022.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Abu-Saymeh, Sadi; Hajja, Mowaffaq (2019). «More variations on the Steiner-Lehmus theme». The Mathematical Gazette 103 (556): 1-11. https://www.jstor.org/stable/26743709. 
• Hajja, Mowaffaq (2001). «Other Versions of the Steiner-Lehmus Theorem». The American Mathematical Monthly 108 (8): 760-767. doi:10.2307/2695622. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2001-10_108_8/page/760. 
• Oliver, Jack (2016). «The Steiner-Lehmus theorem». Mathematics in School 45 (2): 10-11. https://www.jstor.org/stable/24767877. 
• Olah-Gal; Sandor, Jozsef (2009). «On trigonometric proofs of the Steiner-Lehmus theorem». Forum Geometricorum (9): 155-160. https://web.archive.org/web/20221225180832/https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200914.pdf. 

Δείτε επίσης

• Ισοσκελές τρίγωνο
• Διχοτόμος γωνίας