Θεώρημα του Πτολεμαίου

Στη γεωμετρία, το θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει τη σχέση των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με τις διαγώνιές του. Το διατύπωσε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αι. μ.Χ.) στο έργο του Μαθηματική σύνταξις, και το χρησιμοποίησε για τη δημιουργία του "πίνακα των χορδών", ενός τριγωνομετρικού πίνακα για αστρονομικούς υπολογισμούς.

Το θεώρημα του Πτολεμαίου μας δίνει τη σχέση των διαγωνίων ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με τις πλευρές του.

Πιο συγκεκριμένα, στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, ισχύει:

${\rm {A\Gamma \cdot B\Delta =AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}$.

Λεκτικά η σχέση περιγράφεται ως εξής: "Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο (των μηκών) των διαγωνίων του είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων (των μηκών) των ζευγών των απέναντι πλευρών."

Ισχύει και το αντίστροφο: "Αν σε ένα τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών, τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο."

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Έστω το εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$. Με πλευρά την ${\rm {AB}}$ και κορυφή το ${\rm {A}}$ κατασκευάζουμε γωνία ${\widehat {\mathrm {BAE} }}={\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}$, όπου ${\rm {E}}$ σημείο της ${\rm {B\Delta }}$. Άρα θα είναι και ${\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {EA\Delta } }}$, διότι είναι αθροίσματα ίσων γωνιών. Επομένως τα τρίγωνα ${\rm {ABE}}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ είναι όμοια διότι έχουν τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {BAE} }}={\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}$ και ${\widehat {\mathrm {ABE} }}={\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}$ (οι εγγεγραμμένες γωνίες ${\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}$ και ${\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}$ είναι ίσες διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\rm {A\Delta }}$).

Άρα ισχύει:

${\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {BE} }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}$ και με χιαστί γινόμενα έχουμε

${\mathrm {A\Gamma } }\cdot {\mathrm {BE} }=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }}$.

(1)

Αλλά και τα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {AE\Delta }}$ είναι όμοια διότι έχουν τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {EA\Delta } }}$ και ${\widehat {\mathrm {B\Gamma A} }}={\widehat {\mathrm {B\Delta A} }}$, (ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\rm {AB}}$).

Άρα ισχύει:

${\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {E\Delta } }}={\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {A\Delta } }}$ και με χιαστί γινόμενα έχουμε

$\mathrm {A\Gamma } \cdot {\mathrm {E\Delta } }={\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }$.

(2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ισότητες (1) και (2), έχουμε:

${\mathrm {A\Gamma } }\cdot {\mathrm {BE} }+\mathrm {A\Gamma } \cdot {\mathrm {E\Delta } }=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }} +{\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }$,

${\mathrm {A\Gamma } }\cdot ({\mathrm {BE} }+{\mathrm {E\Delta } })=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }} +{\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }$ και επειδή ${\mathrm {BE} }+{\mathrm {E\Delta } }={\mathrm {B\Delta } }$,

${\mathrm {A\Gamma } }\cdot {\mathrm {B\Delta } }=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }} +{\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }.$

$\square$

Εφαρμογές σε εγγεγραμμένα πολύγωνα

Σε ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ πλευράς $s$ και ${\rm {P}}$ ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {P}}$ σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {PA}}$ είναι μεγαλύτερο από τα ${\rm {PB}}$ και ${\rm {P\Gamma }}$, τότε το θεώρημα van Schooten λέει ότι: ${\rm {PA=PB+P\Gamma }}$.

Πράγματι, το τετράπλευρο ${\rm {ABP\Gamma }}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, συνεπώς από το θεώρημα του Πτολεμαίου ισχύει ότι $\mathrm {PA} \cdot s=\mathrm {PB} \cdot s+\mathrm {P\Gamma } \cdot s$. Απλοποιώντας το $s$ έπεται το ζητούμενο.

Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί από το θεώρημα του Πτολεμαίου.

Έστω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές $\alpha$, $\beta$ και διαγώνιο $\delta$. Τότε, επειδή κάθε ορθογώνιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, από το θεώρημα του Πτολεμαίου συμπεραίνουμε ότι:

$\delta ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}$,

που είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ειδικότερα, σε ένα τετράγωνο συμπεραίνουμε ότι:

$\delta ^{2}=2\alpha ^{2}$ ή $\delta =\alpha {\sqrt {2}}$.

Σε κανονικό πεντάγωνο

Στο κανονικό πεντάγωνο ο λόγος της διαγωνίου $\beta$ προς την πλευρά $\alpha$ είναι το $\phi$, ο χρυσός λόγος.

Έστω ένα κανονικό πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$ με πλευρά $\alpha$ και διαγώνιο $\beta$. Το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο, άρα από το θεώρημα του Πτολεμαίου συμπεραίνουμε ότι:

$\beta ^{2}=\alpha ^{2}+\alpha \beta$ ή

$({\tfrac {\beta }{\alpha }})^{2}=1+{\tfrac {\beta }{\alpha }}$ ή

${\tfrac {\beta }{\alpha }}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\phi$, ο χρυσός λόγος.

Σε κανονικό δεκάγωνο

Υπολογισμός της πλευράς $\gamma$ του κανονικού δεκαγώνου από τη διάμετρο $\delta$ του περιγεγραμμένου κύκλου του.

Έστω ένα κανονικό δεκαγώνου με πλευρά $\gamma$. Αν $\alpha$ είναι η πλευρά, $\beta$ η διαγώνιος του κανονικού πενταγώνου ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$ και ${\rm {AZ}}=\delta$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου. Τότε, το ${\rm {A\Delta Z\Gamma }}$ είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο και από το θεώρημα του Πτολεμαίου συμπεραίνουμε ότι:

$\alpha \delta =\beta \gamma +\beta \gamma$ ή

$\delta =2(\beta /\alpha )\gamma$ ή

$\delta =2\phi \gamma$ ή

$\gamma ={\tfrac {\delta }{2\phi }}$.

Έτσι προκύπτει η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου συναρτήσει της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο για την πλευρά $\alpha$ του κανονικού δεκαγώνου. Από την εφαρμογή του θεωρήματος του Πτολεμαίου στο κανονικό πεντάγωνο βρίσκουμε ότι $\alpha =\beta /\phi$. Αρκεί να υπολογίσουμε το $\beta$ από το $\delta$. Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο $\mathrm {A\Delta Z}$ είναι ορθογώνιο και από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι $\beta ^{2}=\delta ^{2}-\gamma ^{2}$, όπου $\gamma =\delta /(2\phi )$.

Ο Κοπέρνικος, διαβάζοντας το έργο του Πτολεμαίου συνοψίζει πως "αν είναι γνωστή η διάμετρος του κύκλου, τότε μπορεί να υπολογιστεί η πλευρά ενός εγγεγραμένου πολυγώνου, αν αυτό είναι τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο και δεκάγωνο".

Εφαρμογές σε τριγωνομετρικές ταυτότητες

Έστω ένας κύκλος διαμέτρου $1$ και εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο, όπου η μία κάθετη πλευρά του να είναι $\alpha$ και η απέναντι οξεία γωνία ${\rm {\hat {A}}}$. Τότε $\sin {\rm {A}}=\alpha /1$, δηλ. αριθμητικά η χορδή $\alpha$ ταυτίζεται με το ημίτονο της εγγεγραμμένης γωνίας ${\rm {\hat {A}}}$ που βαίνει στο τόξο της χορδής $\alpha$.

Εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με $\alpha =\sin(\theta _{1})$.

Θεωρούμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$. Επίσης $\theta _{1}$ είναι η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής $\alpha$ και όμοια οι $\theta _{2},\theta _{3},\theta _{4}$. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου και χρησιμοποιώντας τη σχέση $\alpha =\sin {\rm {A}}$, λαμβάνουμε την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

$\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{2}+\theta _{3})$

Έχουμε ότι $\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }$, έτσι $\sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(180^{\circ }-(\theta _{3}+\theta _{3}))=\sin(\theta _{3}+\theta _{4})$, δηλ. για τη χορδή ${\rm {A\Gamma }}$ μπορούμε να θεωρήσουμε είτε την $\theta _{1}+\theta _{2}$ ή τη $\theta _{3}+\theta _{4}$.

Tο Πυθαγόρειο θεώρημα

Αν $\theta _{1}=\theta _{3}$ και $\theta _{2}=\theta _{4}$, τότε η εφαρμογή της τριγωνομετρικής μορφής του θεωρήματος του Πτολεμαίου δίνει

$\sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})$ με $\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{1}=\theta _{2}=180^{\circ }$ ή $\theta _{1}+\theta _{2}=90^{\circ }$.

Άρα προκύπτει ότι η τριγωνομετρική μορφή του Πυθαγόρειου θεωρήματος

$\sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1$.

O νόμος των συνημιτόνων

Ο Νόμος των συνημιτόνων.

Έστω ένα ισοσκελές τραπέζιο με $\beta =\delta$ και βάσεις τις $\alpha$ και $\gamma$. Τότε οι διαγώνιες ${\rm {A\Gamma =B\Delta }}$ και $\gamma =\alpha -2x$, όπου $x=\beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})$. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου, έχουμε ότι:

${\begin{array}{lcl}\\\alpha \gamma +\beta \delta ={\rm {A\Gamma \cdot B\Delta }}\Rightarrow \\\alpha \gamma +\beta ^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}\Rightarrow \\\alpha \cdot (\alpha -2\beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3}))+\beta ^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}\Rightarrow \\{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-2\cdot \alpha \beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\rm {A\Gamma }}^{2}.\end{array}}$

Υπολογισμός ημιτόνου αθροίσματος γωνιών

Στην ειδική περίπτωση όπου:

$\theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }$

έχουμε ότι $\sin \theta _{1}=\sin(90^{\circ }-\theta _{2})=\cos(\theta _{2})$, όμοια $\sin \theta _{4}=\cos \theta _{3}$ και $\sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{\circ })=1$. Εφαρμόζοντας πάλι την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

$\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})$.

Από όπου προκύπτει:

$\cos \theta _{2}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \cos \theta _{3}=1\cdot \sin(\theta _{3}+\theta _{2})$,

που είναι ο τύπος για το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών.

Υπολογισμός ημιτόνου διαφοράς γωνιών

Στην ειδική περίπτωση που $\theta _{1}=90^{\circ }$ έχουμε ότι $\sin \theta _{1}=\sin 90^{\circ }=1$, $\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }$, $\sin \theta _{4}=\sin(90^{\circ }-(\theta _{2}+\theta _{3}))=\cos(\theta _{2}+\theta _{3})$, $\sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{\circ }+\theta _{2})=\cos \theta _{2}$. Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

$\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow$

$\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\cos \theta _{2}\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow$

$\sin \theta _{3}=\sin(\theta _{2}+\theta _{3})\cdot \cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\cdot \sin \theta _{2}$

Αν είναι $\theta _{2}+\theta _{3}=\theta _{5}$ τότε

$\sin(\theta _{5}-\theta _{2})=\sin \theta _{5}\cdot \cos \theta _{2}-\cos \theta _{5}\cdot \sin \theta _{2}$,

που είναι ο τύπος για το ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών.

Αυτό είναι το τρίτο θεώρημα στη Μαθηματική σύνταξις και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του $\sin 6^{\circ }$ ως εξής: $\sin(36^{\circ }-30^{\circ })=\sin 36^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 36^{\circ }\sin 30^{\circ }$, από όπου για το κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί το $\cos 36^{\circ }=\delta /(2\alpha )=\phi /2$. O υπολογισμός του $\sin 6^{\circ }$ ήταν ένα σημαντικό βήμα για τη δημιουργία πίνακα χορδών.

Υπολογισμός συνημιτόνου αθροίσματος γωνιών

Αν $\theta _{3}=90^{\circ }$, τότε $\sin \theta _{3}=1$, $\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{4}=90^{\circ }$, $\sin \theta _{1}=\sin(90^{\circ }-(\theta _{2}+\theta _{4}))=\cos(\theta _{2}+\theta _{4})$, $\sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{\circ }-\theta _{4})=\cos \theta _{4}$, $\sin(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{2}+90^{\circ })=\cos(\theta _{2})$.

Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

$\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow$

$1\cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\cos \theta _{4}\cdot \cos \theta _{2}\Rightarrow$

$\cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cdot \cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}$.

Αυτό είναι το πέμπτο θεώρημα στη Μαθηματική σύνταξις του Πτολεμαίου και έχει την ίδια αρίθμηση στο De Revolutionibus Orbis του Κοπέρνικου.

Ιστορική αναφορά

Το θεώρημα του Πτολεμαίου, από ότι καταφαίνεται από τα πορίσματα, έδωσε στους Αρχαίους Έλληνες ένα εξαιρετικά ευέλικτο εργαλείο. Παρά τη μικρότερη επιδεξιότητά του απ΄τον σημερινό μας τριγωνομετρικό συμβολισμό, ο γνώστης της εποχής εκείνης μπορούσε να υπολογίσει ακριβείς πίνακες χορδών, που αντιστοιχούν στους πίνακες ημιτόνων της εποχής μας. Τέτοιους πίνακες σχημάτισε ο Ίππαρχος ο Νικαιεύς τρεις αιώνες πριν τον Πτολεμαίο, άρα πρέπει να γνώριζε το θεώρημα και τα πορίσματά του. Τέσσερις γενιές πιο πριν από αυτόν, ο Τιμόχαρις ο Αλεξανδρεύς (320-280 π.Χ.) συνέταξε κατάλογο αστέρων. Αν, όπως φαίνεται πιθανό, η σύνταξη τέτοιων καταλόγων χρειάζεται το θεώρημα του Πτολεμαίου, τότε οι απαρχές του θεωρήματος χάνονται πίσω στο χρόνο. Είναι το 2ο θεώρημα του Κοπέρνικου στο έργο του De Revolutionibus Orbis.

Η ανισοτική σχέση του Πτολεμαίου

Θεώρημα (Η ανισοτική σχέση του Πτολεμαίου) — 

Μη εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Σε κάθε μη εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ το γινόμενο των διαγωνίων του είναι μικρότερο από το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών του

${\rm {A\Gamma \cdot B\Delta <AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Έστω το μη εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας η κορυφή ${\rm {\Gamma }}$ είναι εξωτερικό σημείο της περιφέρειας που διέρχεται από τις κορυφές ${\rm {A,B,\Delta }}$.

Με πλευρά την ${\rm {AB}}$ και κορυφή το ${\rm {A}}$ κατασκευάζουμε γωνία ${\widehat {\mathrm {BA} x}}={\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}$. Επίσης με πλευρά την ${\rm {AB}}$ και κορυφή το ${\rm {B}}$ κατασκευάζουμε γωνία ${\widehat {\mathrm {AB} y}}={\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}$ και έστω ${\rm {E}}$ το σημείο τομής των $\mathrm {A} x$ και $\mathrm {B} y$.

Τα τρίγωνα ${\rm {ABE}}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ είναι όμοια εκ κατασκευής, άρα:

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {BE}}{\rm {\Gamma \Delta }}}$ δηλ. ${\rm {A\Gamma \cdot BE=AB\cdot \Gamma \Delta }}$.

(1)

Αλλά είναι ${\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {EA\Delta } }}$, διότι αποτελούν αθροίσματα ίσων γωνιών και επειδή είναι

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {AE}}{\rm {A\Delta }}}$ (λόγω των ομοίων τριγώνων ${\rm {ABE}}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$)

έπεται ότι και τα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {EA\Delta }}$ είναι όμοια, άρα:

${\frac {\rm {B\Gamma }}{\rm {E\Delta }}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {A\Delta }}}$ δηλ. ${\rm {A\Gamma \cdot E\Delta =B\Gamma \cdot A\Delta }}$.

(2)

Προσθέτουμε τις ισότητες (1) και (2) και βρίσκουμε:

${\rm {A\Gamma \cdot BE+{\rm {A\Gamma \cdot E\Delta =AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}}}$,

${\rm {A\Gamma \cdot (BE+E\Delta )=AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}$.

(3)

Επειδή η κορυφή ${\rm {\Gamma }}$ βρίσκεται εκτός της περιφέρειας που διέρχεται από τις κορυφές ${\rm {A,B,\Delta }}$ η γωνία ${\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}$ είναι μικρότερη από την γωνία ${\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}$ και άρα η πλευρά ${\rm {BE}}$ δεν συμπίπτει με την διαγώνιο ${\rm {B\Delta }}$, οπότε αν φέρουμε την ${\rm {E\Delta }}$ σχηματίζεται το τρίγωνο ${\rm {EB\Delta }}$.
Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ${\rm {EB\Delta }}$ ισχύει ότι ${\rm {B\Delta <BE+E\Delta }}$. Αν λοιπόν στην ισότητα (3) αντικαταστήσουμε το άθροισμα ${\rm {BE+E\Delta }}$ με το μικρότερό του ${\rm {B\Delta }}$ το πρώτο μέλος της ελαττώνεται και άρα η σχέση (3) γίνεται:

${\rm {A\Gamma \cdot B\Delta <AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}$.

$\square$

Γενικεύσεις

Γενίκευση του θεωρήματος του Πτολεμαίου είναι το θεώρημα Casey.

Δείτε επίσης

• Δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου
• Θεώρημα Casey

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου
• Θεώρημα του Πτολεμαίου: Αποδείξεις και Εφαρμογές

Ελληνικά άρθρα

• Θρουμουλόπουλος Λάζαρος (1976). «Αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος του Πτολεμαίου και εφαρμογή του στην εύρεση του σημείου Steiner». Ευκλείδης Β΄ (5): 7. 
• Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». Ευκλείδης Β΄ (2): 26-29. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Sillitto, A. G. (Δεκεμβρίου 1966). «147. Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 50 (374): 388–388. doi:10.1017/S0025557200243404. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1966-12_50_374/page/388. 
• Milne-Thomson, L. M. (Δεκεμβρίου 1936). «A Generalization of Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 20 (241): 322–323. doi:10.2307/3607314. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1936-12_20_241/page/322. 
• Kkishnaswami Ayyangar, A. A. (Ιανουαρίου 1923). «653. [K 1 . 8. b.] Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 11 (162): 236–237. doi:10.2307/3604611. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1923-01_11_162/page/236. 
• Shively, L. S. (1946). «Ptolemy's Theorem and Regular Polygons» (στα αγγλικά). The Mathematics Teacher 39 (3): 117-120. https://www.jstor.org/stable/27953071.