Θεώρημα φαν Άουμπελ (σεβιανές)

Το θεώρημα φαν Άουμπελ λέει ότι ${\textstyle {\frac {\rm {AP}}{\rm {A\Delta }}}={\frac {\rm {AZ}}{\rm {ZB}}}+{\frac {\rm {AE}}{\rm {E\Gamma }}}}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα φαν Άουμπελ (αναφέρεται και ως θεώρημα van Aubel ) λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ για τρεις σεβιανές ${\rm {A\Delta ,BE,\Gamma }}$ που συντρέχουν στο ${\rm {P}}$ ισχύει ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {A\Delta }}}={\frac {\rm {AZ}}{\rm {ZB}}}+{\frac {\rm {AE}}{\rm {E\Gamma }}}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Χενρίκους Χουμπέρτους φαν Άουμπελ (1830–1906).

Απόδειξη

Απόδειξη με θεώρημα Μενελάου  

Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ${\rm {AB\Delta }}$ με διατέμνουσα την ${\rm {Z\Gamma }}$ έχουμε ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {P\Delta }}}\cdot {\frac {\rm {\Delta \Gamma }}{\rm {\Gamma B}}}\cdot {\frac {\rm {BZ}}{\rm {ZA}}}=1$,

από την οποία έπεται ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {P\Delta }}}\cdot {\frac {\rm {\Delta \Gamma }}{\rm {\Gamma B}}}={\frac {\rm {ZA}}{\rm {BZ}}}$.

(1)

Αντίστοιχα, από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ${\rm {A\Delta \Gamma }}$ για την διατέμνουσα ${\rm {BE}}$ έχουμε ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {P\Delta }}}\cdot {\frac {\rm {\Delta B}}{\rm {\Gamma B}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma E}}{\rm {EA}}}=1$,

από την οποία έπεται ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {P\Delta }}}\cdot {\frac {\rm {\Delta B}}{\rm {\Gamma B}}}={\frac {\rm {EA}}{\rm {\Gamma E}}}$.

(2)

Αθροίζοντας κατά μέλη τις (1) και (2), έχουμε ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {A\Delta }}}\cdot \left({\frac {\rm {\Delta \Gamma }}{\rm {\Gamma B}}}+{\frac {\rm {\Delta B}}{\rm {\Gamma B}}}\right)={\frac {\rm {AZ}}{\rm {ZB}}}+{\frac {\rm {AE}}{\rm {E\Gamma }}}$.

Χρησιμοποιώντας ότι ${\rm {B\Delta +\Delta \Gamma =B\Gamma }}$, καταλήγουμε ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {A\Delta }}}={\frac {\rm {AZ}}{\rm {ZB}}}+{\frac {\rm {AE}}{\rm {E\Gamma }}}$.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα Μενελάου
• Θεώρημα Τσέβα