Θεώρημα Καρνό (κάθετοι)

Το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.

Στη γεωμετρία, το θεώρημα Καρνό (αναφέρεται και ως θεώρημα Carnot) είναι μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και τα σημεία $\mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }}$ οι τομές των τριών καθέτων με τις πλευρές του τριγώνου. Τότε, οι κάθετες συντρέχουν ανν

$\mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2}.$

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λαζάρ Καρνό και είναι μία γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Απόδειξη

Ευθύ

Σχήμα απόδειξης.

Έστω ένα σημείο $\mathrm {P}$ και οι προβολές του $\mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }}$ επί των πλευρών του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AP_{B}P}$, $\mathrm {\Gamma P_{A}P}$ και $\mathrm {BP_{\Gamma }P}$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}&=(\mathrm {AP} ^{2}-\mathrm {PP_{B}} ^{2})+(\mathrm {\Gamma P} ^{2}-\mathrm {PP_{A}} ^{2})+(\mathrm {BP} ^{2}-\mathrm {PP_{\Gamma }} ^{2})\\&=(\mathrm {AP} ^{2}-\mathrm {PP_{\Gamma }} ^{2})+(\mathrm {\Gamma P} ^{2}-\mathrm {PP_{B}} ^{2})+(\mathrm {BP} ^{2}-\mathrm {PP_{A}} ^{2})\\&=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2},\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AP_{\Gamma }P}$, $\mathrm {\Gamma P_{B}P}$ και $\mathrm {BP_{A}P}$.

Αντίστροφο

Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος.

Για το αντίστροφο, έστω $\epsilon _{\mathrm {A} },\epsilon _{\mathrm {B} },\epsilon _{\Gamma }$ τρεις κάθετες στα σημεία $\mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }}$ των πλευρών ενός τριγώνου που ικανοποιούν

$\mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2}.$

(1)

Επίσης, θεωρούμε $\mathrm {P}$ το σημείο τομής των $\epsilon _{\mathrm {B} }$ και $\epsilon _{\Gamma }$.

Θεωρούμε $\mathrm {P} _{\mathrm {A} }'$ την προβολή του $\mathrm {P}$ στο $\mathrm {B\Gamma }$. Θα δείξουμε ότι $\mathrm {P} _{\mathrm {A} }'=\mathrm {P} _{\mathrm {A} }$. Από το ευθύ του θεωρήματος, έχουμε ότι ικανοποιεί

$\mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}'} ^{2}.$

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

$\mathrm {BP_{A}'} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}=\mathrm {BP_{A}} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}$

Χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm {BP_{A}'} =\mathrm {B\Gamma } -\mathrm {\Gamma P_{A}'}$ και $\mathrm {BP_{A}} =\mathrm {B\Gamma } -\mathrm {\Gamma P_{A}}$, λαμβάνουμε ότι

$\mathrm {BP_{A}'} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}=\mathrm {BP_{A}} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2},$

και συνεπώς τα σημεία $\mathrm {P_{A}'}$ και $\mathrm {P_{A}}$ ταυτίζονται.

Ειδικές περιπτώσεις

Πυθαγόρειο θεώρημα

Αν το ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή την ${\rm {A}}$ και το ${\rm {P}}$ ταυτίζεται με μία από τις δύο μη-ορθές κορυφές του, έστω την ${\rm {B}}$, τότε έχουμε ότι ${\rm {BP_{\Gamma }=BP_{A}=AP_{B}=0}}$ και άρα το θεώρημα Καρνό μας δίνει ότι

$\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2},$

και αφού ${\rm {P_{B}=A}}$ και ${\rm {P_{A}=P_{\Gamma }=B}}$, καταλήγουμε στο Πυθαγόρειο θεώρημα

$\mathrm {\Gamma B} ^{2}=\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}$.

Δείτε επίσης

• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Θεώρημα του Μενελάου
• Θεώρημα του Τσέβα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή στο Desmos.
• Θεώρημα Καρνό στο Art of Problem Solving
• Θεώρημα Καρνό: Αποδείξεις και εφαρμογές στο Cut The Knot
• Θεώρημα Καρνό στην Διαδραστική Γεωμετρία