Θεώρημα Μέμπιους-Πομπέγιου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Μέμπιους-Πομπέγιου (γνωστό και ως θεώρημα Πομπέγιου) λέει ότι οι αποστάσεις ενός σημείου από τις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου δημιουργούν ένα (πιθανώς εκφυλισμένο) τρίγωνο.^[1]^[2]

Πιο συγκεκριμένα, αν ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ${\rm {P}}$ ένα σημείο του επιπέδου, τότε υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών ίσα με ${\rm {PA,PB,P\Gamma }}$ .

Όταν το ${\rm {P}}$ είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του ${\rm {AB\Gamma }}$ , τότε από το θεώρημα φαν Σχόοτεν ισχύει ότι ${\rm {PA}}={\rm {PB}}+{\rm {P\Gamma }}$ (αν ${\rm {PA=\max(PB,P\Gamma )}}$ ) και το τρίγωνο θα είναι εκφυλισμένο.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ντιμίτριε Πομπέγιου και τον Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους.^[3]

Απόδειξη

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm {PP'\Gamma }}$ προς την μεριά του ${\rm {P\Gamma }}$ αντίθετα από αυτή που βρίσκεται το ${\rm {AB\Gamma }}$ . Θα δείξουμε ότι το τρίγωνο ${\rm {APP'}}$ έχει μήκη πλευρών ίσα με τις αποστάσεις ${\rm {PA,PB,P\Gamma }}$ .

Τα τρίγωνα ${\rm {B\Gamma P}}$ και ${\rm {A\Gamma P'}}$ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς καθώς έχουν δύο πλευρές (την ${\rm {B\Gamma =A\Gamma }}$ και ${\rm {P\Gamma =P'\Gamma }}$ ) και την περιεχόμενη τους γωνία ίση ( ${\widehat {\rm {B\Gamma P}}}=60^{\circ }+{\widehat {\rm {A\Gamma P}}}={\widehat {\rm {A\Gamma P'}}}$ ). Επομένως, ${\rm {PB=A\Gamma }}$ , συνεπώς το τρίγωνο ${\rm {APP'}}$ ικανοποιεί το ζητούμενο.

Ιστορία

Ο Πομπέγιου δημοσίευσε το θεώρημα το 1936,^[4] αλλά ο Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους είχε ήδη δημοσιεύσει από το 1852 ένα πιο γενικό θεώρημα για τέσσερα σημεία στο επίπεδο.^[5] Σε αυτή τη δημοσίευση ο Μέμπιους ανέφερε το θεώρημα για τα ισόπλευρα τρίγωνα ως πόρισμα του γενικού θεωρήματος.^[3]

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ Sydler, J. P. (1953). Autre démonstration du théorème de Pompeïu, σελ. 15-16.
↑ Pavlovic, S. V. (1953). «Sur un démonstration géométrique d'un théorème de M. D. Pompeïu». Elem. Math. (8 \pages=13-15).
1 2 Mitrinović, D.; Pečarić, J.; Volenec, J., V. (1987). «History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu». Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie 31 (79) (1): 25–38. https://www.jstor.org/stable/43681294.
↑ Pompeïu, D. (1936). «Une identité entre nombres complexes et un théorème du géometrie élémentaire». Bull. Math. Phys. École Polytechnique Bucarest (6): 6-7.
↑ Möbius, F. A. (1856). «Über eine Methode, um von Relationen, welche der Longimetrie angehören, zu entsprechenden Sätzen der Planimetrie zu gelangen». Journal für die reine und angewandte Mathematik 52: 229–242. doi:10.1515/crll.1856.52.229. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994243/f198#.

[1] Sydler, J. P. (1953). Autre démonstration du théorème de Pompeïu, σελ. 15-16.

[2] Pavlovic, S. V. (1953). «Sur un démonstration géométrique d'un théorème de M. D. Pompeïu». Elem. Math. (8 \pages=13-15).

[MPV87-3] 1 2 Mitrinović, D.; Pečarić, J.; Volenec, J., V. (1987). «History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu». Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie 31 (79) (1): 25–38. https://www.jstor.org/stable/43681294.

[4] Pompeïu, D. (1936). «Une identité entre nombres complexes et un théorème du géometrie élémentaire». Bull. Math. Phys. École Polytechnique Bucarest (6): 6-7.

[5] Möbius, F. A. (1856). «Über eine Methode, um von Relationen, welche der Longimetrie angehören, zu entsprechenden Sätzen der Planimetrie zu gelangen». Journal für die reine und angewandte Mathematik 52: 229–242. doi:10.1515/crll.1856.52.229. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994243/f198#.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]