Συμμετροδιάμεσο σημείο

Το σημείο Λεμουάν ${\rm {K}}$ όπου συντρέχουν οι συμμετροδιάμεσοι ενός τριγώνου.

Στην γεωμετρία, το συμμετροδιάμεσο σημείο (ή σημείο Λεμουάν ή σημείο Lemoine) ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ οι συμμετροδιάμεσοι ${\rm {A\Sigma _{\alpha }}}$, ${\rm {B\Sigma _{\beta }}}$, ${\rm {\Gamma \Sigma _{\gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Εμίλ Λεμουάν που το δημοσίευσε μαζί με άλλες ιδιότητες στις συμμετροδιαμέσους. Ο Simon Antoine Jean L'Huilier είχε επίσης αναφερθεί στο σημείο από το 1809, καθώς επίσης και ο Ernst Wilhelm Grebe σε μία δημοσίευσή του το 1847.

Απόδειξη

Από το πόρισμα Steiner για την συμμετροδιάμεσο ${\rm {A\Sigma _{\alpha }}}$,

${\frac {\rm {B\Sigma _{\alpha }}}{\rm {\Gamma \Sigma _{\alpha }}}}={\frac {\rm {AB^{2}}}{\rm {A\Gamma ^{2}}}}$,

και αντίστοιχα

${\frac {\rm {\Gamma \Sigma _{\beta }}}{\rm {A\Sigma _{\beta }}}}={\frac {\rm {B\Gamma ^{2}}}{\rm {BA^{2}}}}$,

${\frac {\rm {A\Sigma _{\gamma }}}{\rm {B\Sigma _{\gamma }}}}={\frac {\rm {\Gamma A^{2}}}{\rm {\Gamma B^{2}}}}$.

Επομένως, πολλαπλασιάζοντας τις τρεις σχέσεις κατά μέλη, έχουμε ότι

${\frac {\rm {B\Sigma _{\alpha }}}{\rm {\Gamma \Sigma _{\alpha }}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma \Sigma _{\beta }}}{\rm {A\Sigma _{\beta }}}}\cdot {\frac {\rm {A\Sigma _{\gamma }}}{\rm {B\Sigma _{\gamma }}}}={\frac {\rm {AB^{2}}}{\rm {A\Gamma ^{2}}}}\cdot {\frac {\rm {B\Gamma ^{2}}}{\rm {BA^{2}}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma A^{2}}}{\rm {\Gamma B^{2}}}}=1$.

Από το αντίστροφο θεώρημα Τσέβα, καταλήγουμε ότι οι τρεις συμμετροδιάμεσοι συντρέχουν.

Ιδιότητες

• Το συμμετροδιάμεσο σημείο είναι το ισογώνιο συζυγές του βαρύκεντρου ως προς το τρίγωνο.
• Το συμμετροδιάμεσο σημείο είναι το σημείο Ζεργκόν για το τρίγωνο που ορίζεται από τις εφαπτόμενες στις κορυφές του τριγώνου.
• Το συμμετροδιάμεσο σημείο είναι το σημείο του επιπέδου που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις πλευρές του τριγώνου.
• (Θεώρημα Λεμουάν) Το συμμεροδιάμεσο σημείο είναι το μοναδικό σημείο που είναι το βαρύκεντρο του ποδικού του τριγώνου.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Σημείο Λεμουάν στο Geogebra.
• Συμμετροδιάμεσο σημείο στο Γεωμετρικόν.
• Ιδιότητες συμμετροδιαμέσω στο Cut The Knot.

Ελληνικά άρθρα

• Γιαννακόπουλος, Σπύρος (2023). «Προσέγγιση των σημείων Brocard και του σημείου Lemoine». Ευκλείδης_Β΄ (Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία) (127): 65-70. https://hms.gr/wp-content/uploads/2024/12/EYKLEIDHS_B_t127_2023.pdf. 

Δείτε επίσης

• Συμμετροδιάμεσος τριγώνου
• Ισογώνιο συζυγές