Συμμετρία ως προς άξονα

Το σημείο

{\rm {A'}}

είναι συμμετρικό του

{\rm {A'}}

ως προς την ευθεία

\varepsilon

.

Το τρίγωνο

{\rm {A'B'\Gamma '}}

είναι συμμετρικό του

{\rm {AB\Gamma }}

ως προς την ευθεία

\varepsilon

.

Στην γεωμετρία, ένα σημείο ${\rm {A}}$ λέγεται συμμετρικό του σημείου ${\rm {A'}}$ ως προς την ευθεία $\varepsilon$ , αν η $\varepsilon$ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AA'}}$ . Η ευθεία $\varepsilon$ λέγεται o άξονας συμμετρίας των ${\rm {A}}$ και ${\rm {A'}}$ .^[1]^:82-85^[2]^:45^[3]^:13^[4]^:44-45

Δύο γεωμετρικά σχήματα ${\rm {\Sigma }}$ και ${\rm {\Sigma '}}$ λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία $\varepsilon$ , αν για κάθε σημείο του ${\rm {\Sigma }}$ το συμμετρικό του ανήκει στο ${\rm {\Sigma '}}$ , και αντίστροφα.

Η συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε σημείο στο συμμετρικό του λέγεται ανάκλαση (ή συμμετρία) ως προς άξονα (δείτε παρακάτω).

Άξονας συμμετρίας

Άξονας συμμετρίας ενός σχήματος $\Sigma$ ονομάζεται μία ευθεία $\varepsilon$ για την οποία το $\Sigma$ είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς την $\varepsilon$ .

Παραδείγματα

Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας.^[4]^: 45
Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι και άξονας συμμετρίας της.
Ένα τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας, τις δύο διαγωνίους του και τις δύο μεσοκαθέτους των απέναντι πλευρών. Ένα ορθογώνιο έχει μόνο τις δύο μεσοκαθέτους.
Ένα κανονικό εξάγωνο έχει έξι άξονες συμμετρίας.
Ένας κύκλος άπειρους άξονες συμμετρίας, κάθε ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.
Μία έλλειψη (που δεν είναι κύκλος) έχει δύο άξονες συμμετρίας.
Η γραφική παράστασης μίας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $yy'$ .

Η διχοτόμος είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας.

Οι τέσσερις άξονες συμμετρίας σε ένα τετράγωνο.

Οι δύο άξονες συμμετρίας μίας έλλειψης.

Οι έξι άξονες συμμετρίας σε ένα κανονικό εξάγωνο.

Ιδιότητες

Δύο σχήματα συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας είναι ίσα.^[4]^: 45
Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας και άξονα συμμετρίας, πρέπει να έχει το κέντρο πάνω στον άξονα.
Ένα σχήμα με δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους έχει και κέντρο συμμετρίας, την τομή αυτών των αξόνων.^[4]^: 70

Γεωμετρική κατασκευή

Το συμμετρικό ενός σημείου ${\rm {A}}$ ως προς την ευθεία $\varepsilon$ μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής:

Θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο το ${\rm {A}}$ και ακτίνα αρκετά μεγάλη ως να τμήσει την ευθεία $\varepsilon$ σε δύο σημεία ${\rm {T_{1}}}$ και ${\rm {T_{2}}}$ .

Διαγράφουμε δύο κύκλους με την ίδια ακτίνα και κέντρα τα ${\rm {T_{1}}}$ και ${\rm {T_{2}}}$ .

Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία: στο ${\rm {A}}$ και στο συμμετρικό του σημείο ${\rm {A'}}$ .

Ως μετασχηματισμός

Έστω ένα σημείο ${\rm {P}}$ και μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο ${\rm {x}}_{0}$ και έχει διεύθυνση ${\vec {d}}$ . Τότε, το συμμετρικό του σημείου ${\rm {P}}$ ως προς την ευθεία είναι το σημείο ${\rm {P'}}$ που δίνεται από την σχέση

{\rm {P'}}=2{\vec {\rm {x}}}_{0}-{\vec {\rm {P}}}+2\cdot {\frac {({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0})\cdot {\vec {d}}}{{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}\cdot {\vec {d}}

.

Απόδειξη

Η προβολή του ${\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0}$ στην ευθεία $\varepsilon$ είναι ίση με

({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0})\cdot {\frac {\vec {d}}{\sqrt {{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}}

.

Επομένως, το διάνυσμα της προβολής ${\rm {Z}}$ του ${\rm {P}}$ στην ευθεία $\varepsilon$ είναι

{\begin{aligned}{\vec {Z}}&={\rm {x}}_{0}+\left(({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0})\cdot {\frac {\vec {d}}{\sqrt {{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}}\right)\cdot {\frac {\vec {d}}{\sqrt {{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}}\\&={\rm {x}}_{0}+{\frac {({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0})\cdot {\vec {d}}}{{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}\cdot {\vec {d}}\end{aligned}}

.

Επομένως, η απόσταση του ${\rm {P}}$ από την προβολή είναι

{\vec {\rm {ZP}}}={\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0}-{\frac {({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0})\cdot {\vec {d}}}{{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}\cdot {\vec {d}}

.

Το συμμετρικό του ${\rm {P}}$ δίνεται αφαιρώντας δύο φορές την απόστασή του από την προβολή, δηλαδή

{\begin{aligned}{\rm {P'}}&={\vec {\rm {P}}}-2\cdot {\vec {\rm {ZP}}}\\&=2{\vec {\rm {x}}}_{0}-{\vec {\rm {P}}}+2\cdot {\frac {({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {x}}}_{0})\cdot {\vec {d}}}{{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}\cdot {\vec {d}}\end{aligned}}

.

Επομένως, το συμμετρικό ενός σημείου ως προς τον άξονα είναι ο μετασχηματισμός που δίνεται από την συνάρτηση

T(\mathbf {x} )=2{\vec {\rm {x}}}_{0}-\mathbf {x} +2\cdot {\frac {(\mathbf {x} -{\vec {\rm {x}}}_{0})\cdot {\vec {d}}}{{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}\cdot {\vec {d}}

.

Ο μετασχηματισμός αυτός λέγεται ανάκλαση.

Όταν η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε η ανάκλαση είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός,

T(\mathbf {x} )=\left(2\cdot {\frac {{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}^{T}}{{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}-1\right)\cdot \mathbf {x}

.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα.
↑ Σκιαδάς, Αναστάσιος Ι. (1973). Γεωμετρία Τεύχος Α' Επιπεδομετρία (2η έκδοση). Αθήνα.
↑ Κουρκουλος, Αγγ. Μ. Η γεωμετρία του υποψηφίου ανωτάτων σχολών Τόμος Α' Επιπεδομετρία. Σ. Ε. Χαλκιαδάκης.
1 2 3 4 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα.

[1] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα.

[2] Σκιαδάς, Αναστάσιος Ι. (1973). Γεωμετρία Τεύχος Α' Επιπεδομετρία (2η έκδοση). Αθήνα.

[3] Κουρκουλος, Αγγ. Μ. Η γεωμετρία του υποψηφίου ανωτάτων σχολών Τόμος Α' Επιπεδομετρία. Σ. Ε. Χαλκιαδάκης.

[S73-4] 1 2 3 4 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα.

[1]

[2]

[3]

[4]