Θεώρημα διχοτόμου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος μίας γωνίας του χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών.^[1]^:153-154^[2]^:191-193^[3]^:95-96^[4]^:327-331

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ αν ${\rm {A\Delta }}$ διχοτόμος, τότε

{\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}={\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}.

Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με ${\rm {AB\neq {\rm {A\Gamma }}}}$ αν ${\rm {A\Delta '}}$ η εξωτερική διχοτόμος, τότε

{\frac {\rm {B\Delta '}}{\rm {\Gamma \Delta '}}}={\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}.

Αποδείξεις

Απόδειξη με θεώρημα Θαλή

Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και την διχοτόμο ${\rm {A\Delta }}$ της γωνίας ${\rm {\hat {A}}}$ του τριγώνου.

Θα αποδείξουμε ότι ${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$ .

Από το σημείο ${\rm {B}}$ φέρνουμε παράλληλη προς την $\mathrm {A\Delta }$ η οποία τέμνει την προέκταση της $\mathrm {A\Gamma }$ στο σημείο έστω ${\rm {E}}$ .

Στο τρίγωνο $\mathrm {B\Gamma E}$ είναι $\mathrm {A\Delta ||BE}$ άρα από το θεώρημα τομής του Θαλή ισχύει ότι

{\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}

.

(1)

Είναι ${\widehat {\rm {BA\Delta }}}={\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}$ , διότι η ${\rm {A\Delta }}$ είναι διχοτόμος της γωνίας ${\hat {\rm {A}}}$ .

(2)

Είναι ${\widehat {\rm {BA\Delta }}}={\widehat {\rm {EBA}}}$ , ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων $\mathrm {A\Delta ||BE}$ που τέμνονται από την ${\rm {AB}}$ .

(3)

Είναι ${\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}={\widehat {\rm {BEA}}}$ , ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων $\mathrm {A\Delta ||BE}$ που τέμνονται από την ${\rm {\Gamma E}}$ .

(4)

Από τις (2), (3) και (4) προκύπτει ότι ${\widehat {\rm {ABE}}}={\widehat {\rm {BE\Gamma }}}$ συνεπώς το τρίγωνο $\mathrm {ABE}$ είναι ισοσκελές δηλαδή είναι ${\rm {AB=AE}}$ . Τότε, η (1) γράφεται

${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$ .

$\square$

Απόδειξη με τύπο για τα εμβαδά

Θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

{\begin{aligned}\mathrm {E} &={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})\\&={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{πρώτη πλευρά }})\cdot ({\text{δεύτερη πλευρά}})\cdot \sin({\text{μεταξύ τους γωνία}}).\end{aligned}}

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα ${\rm {A\Delta B}}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$ έχουν κοινό ύψος το ${\rm {AH}}$ . Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από

{\rm {E}}_{\rm {A\Delta B}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {AB}}\cdot \sin {\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {B\Delta }}\cdot {\rm {AH}}

,

και

{\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma }}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {A\Gamma }}\cdot \sin {\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {\Gamma \Delta }}\cdot {\rm {AH}}

.

Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}$ .

$\square$

Πορίσματα

Το θεώρημα της διχοτόμου χρησιμοποιείται στις αποδείξεις πολλών άλλων θεωρημάτων και μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Παρακάτω παραθέτουμε μερικές από αυτές.

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

{\displaystyle {\rm {I}}} — Έγκεντρο ${\rm {I}}$ του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ .

Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ οι διχοτόμοι ${\rm {A\Delta _{A}}}$ , ${\rm {B\Delta _{B}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο (το ονομαζόμενο έγκεντρο του τριγώνου).

Απόδειξη

Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

${\frac {\mathrm {B\Delta _{A}} }{\mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma \Delta _{B}} }{\mathrm {A\Delta _{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Delta _{\Gamma }} }{\mathrm {B\Delta _{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {B\Gamma } }}=1$ .

$\square$

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ

Έστω $\alpha =\mathrm {B\Gamma }$ , $\beta =\mathrm {\Gamma A}$ και $\gamma =\mathrm {AB}$ , τότε

\mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}

και

\mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}

.

Απόδειξη

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι

{\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}={\frac {\gamma }{\beta }}\Rightarrow {\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Delta }}\cdot {\frac {\beta }{\gamma }},

και επίσης ισχύει ότι ${\rm {B\Delta }}+{\rm {\Gamma \Delta }}=\alpha$ . Επομένως,

{\rm {B\Delta }}+{\rm {B\Delta }}\cdot {\frac {\beta }{\gamma }}=\alpha \Rightarrow \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}.

Αντίστοιχα και για την $\mathrm {\Gamma \Delta }$ .

$\square$

Συντεταγμένες για το έγκεντρο

Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ το διάνυσμα του έγκεντρου δίνεται από

{\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)

,

όπου ${\vec {\rm {A}}},{\vec {\rm {B}}},{\vec {\rm {\Gamma }}}$ τα διανύσματα των τριών κορυφών του τριγώνου.

Απόδειξη

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των $\mathrm {B\Delta _{A}}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta _{A}}$ , το σημείο $\Delta _{\rm {A}}$ της διχοτόμου δίνεται από

{\vec {\rm {\Delta _{A}}}}={\vec {\rm {B}}}+{\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot {\frac {1}{\alpha }}\cdot ({\vec {\rm {\Gamma }}}-{\vec {\rm {B}}})={\frac {1}{\beta +\gamma }}\cdot \left(\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}+\gamma \cdot {\vec {\Gamma }}\right)

.

Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου $\delta _{\rm {A}}$ δίνεται από

\delta _{\rm {A}}=\left\{t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\beta +\gamma }}\cdot \left(\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}+\gamma \cdot {\vec {\Gamma }}\right):t\in [0,1]\right\}

.

Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους

\delta _{\rm {B}}=\left\{t\cdot {\vec {\rm {B}}}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\gamma +\alpha }}\cdot \left(\gamma \cdot {\vec {\rm {\Gamma }}}+\alpha \cdot {\vec {\rm {A}}}\right):t\in [0,1]\right\}

,

\delta _{\rm {\Gamma }}=\left\{t\cdot {\vec {\rm {\Gamma }}}+(1-t)\cdot {\frac {1}{\alpha +\beta }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\rm {A}}}+\beta \cdot {\vec {\rm {B}}}\right):t\in [0,1]\right\}

.

Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις (για ${\textstyle t_{\rm {A}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}}$ , ${\textstyle t_{\rm {B}}={\frac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}}$ και ${\textstyle t_{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}}$ αντίστοιχα) είναι το σημείο

{\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)

.

Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

$\square$

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Απόδειξη

Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου που χρησιμοποιεί το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB<A\Gamma }}$ και την διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας ${\rm {\hat {A}}}$ του τριγώνου η οποία τέμνει την προέκταση της ${\rm {B\Gamma }}$ στο σημείο έστω ${\rm {\Delta '}}$ .

Θα αποδείξουμε ότι ${\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$ .

Από το σημείο ${\rm {B}}$ φέρνουμε παράλληλη προς την $\mathrm {A\Delta '}$ η οποία τέμνει την $\mathrm {A\Gamma }$ στο σημείο έστω ${\rm {E}}$ .

Στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta '\Gamma }$ είναι $\mathrm {A\Delta '||BE}$ άρα από το θεώρημα τομής του Θαλή ισχύει ότι ${\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}$ .

(1)

Είναι ${\widehat {\rm {BA\Delta '}}}={\widehat {{\rm {\Delta 'A}}x}}$ , διότι η ${\rm {A\Delta '}}$ είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας ${\hat {\rm {A}}}$ .

(2)

Είναι ${\widehat {\rm {BA\Delta '}}}={\widehat {\rm {ABE}}}$ , ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων $\mathrm {A\Delta '||BE}$ που τέμνονται από την ${\rm {AB}}$ .

(3)

Είναι ${\widehat {{\rm {\Delta 'A}}x}}={\widehat {\rm {BEA}}}$ , ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων $\mathrm {A\Delta '||BE}$ που τέμνονται από την ${\rm {\Gamma }}x$ .

(4)

Από τις (2), (3) και (4) προκύπτει ότι ${\widehat {\rm {ABE}}}={\widehat {\rm {AEB}}}$ συνεπώς το τρίγωνο $\mathrm {ABE}$ είναι ισοσκελές δηλαδή είναι ${\rm {AB=AE}}$ .

Τότε, η (1) γράφεται

${\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$ .

$\square$

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'

Έστω $\alpha =\mathrm {B\Gamma }$ , $\beta =\mathrm {\Gamma A}$ και $\gamma =\mathrm {AB}$ , τότε

\mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}

και

\mathrm {\Gamma \Delta '} ={\frac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}

.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB<A\Gamma }}$ . Από το θεώρημα της εξωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι

{\frac {\rm {B\Delta '}}{\rm {\Gamma \Delta '}}}={\frac {\gamma }{\beta }}\Rightarrow {\rm {\Gamma \Delta '}}={\rm {B\Delta '}}\cdot {\frac {\beta }{\gamma }},

και επίσης ισχύει ότι ${\rm {\Gamma \Delta '}}-{\rm {B\Delta '}}=\alpha$ (καθώς το ${\rm {\Delta '}}$ βρίσκεται προς την μεριά του ${\rm {B}}$ ). Επομένως,

{\rm {B\Delta '}}\cdot {\frac {\beta }{\gamma }}-{\rm {B\Delta '}}=\alpha \Rightarrow \mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}.

Αντίστοιχα και για την $\mathrm {\Gamma \Delta '}$ .

$\square$

Απολλώνιος κύκλος

Το θεώρημα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιούνται για την απόδειξη ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {P}}$ των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ , έχουν σταθερό λόγο $k\neq 1$ (δηλαδή ${\textstyle k={\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}}$ ), είναι ένας κύκλος. Αυτός ο κύκλος λέγεται Απολλώνιος κύκλος.

Αρμονική τετράδα

Από το θεώρημα της της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι τα σημεία ${\rm {\Delta ,\Delta '}}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {A,B}}$ , καθώς

{\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\rm {A\Delta '}}{\rm {B\Delta '}}}

.

Υπολογισμός του ΔΔ'

Έστω $\alpha =\mathrm {B\Gamma }$ , $\beta =\mathrm {\Gamma A}$ και $\gamma =\mathrm {AB}$ . Αν $\beta >\gamma$ τότε

\mathrm {\Delta \Delta '} ={\frac {2\alpha \beta \gamma }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}

.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB<A\Gamma }}$ . Από τα προηγούμενα πορίσματα έχουμε ότι

\mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}

και

\mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}

Επομένως,

{\begin{aligned}\mathrm {\Delta \Delta '} &=\mathrm {B\Delta } +\mathrm {B\Delta '} \\&={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}+{\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}\\&={\frac {\alpha \gamma \cdot (\beta -\gamma +\beta +\gamma )}{(\beta +\gamma )(\beta -\gamma )}}\\&={\frac {2\alpha \beta \gamma }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},\end{aligned}}

όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα για την διαφορά τετραγώνων. $\quad \square$

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης.
↑ Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[1] Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης.

[N73-2] Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[K75-3] Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[T57-4] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[1]

[2]

[3]

[4]