Βαρυκεντρικές συντεταγμένες

Το σημείο ${\rm {P}}$ αντιστοιχεί στις βαρυκεντρικές συντεταγμένες $3:2:1$.

Στην γεωμετρία, οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες είναι τριάδες πραγματικών αριθμών που ορίζουν ένα σύστημα συντεταγμένων για τα σημεία του επιπέδου με αναφορά ένα αρχικό τρίγωνο.

Πιο συγκεκριμένα, με αναφορά στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ κάθε τριάδα $(t_{\rm {A}},t_{\rm {B}},t_{\rm {\Gamma }})$ αντιστοιχεί σε ένα σημείο του επιπέδου, που είναι το κέντρο βάρους τριών σημειακών αντικειμένων τοποθετημένων στις κορυφές του τριγώνου με βάρη $t_{\rm {A}},t_{\rm {B}},t_{\rm {\Gamma }}$ αντίστοιχα. Καθώς οι συντεταγμένες είναι ομογενείς (δείτε παρακάτω), οι συνεταγμένες συνήθως γράφονται ως $t_{\rm {A}}:t_{\rm {B}}:t_{\rm {\Gamma }}$, και υπάρχουν άπειρες τριάδες που ανιστοιχούν στο ίδιο σημείο.

Γεωμετρική ερμηνεία

Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του P είναι ανάλογες των εμβαδών που σχηματίζει με τις αντίστοιχες πλευρές του τριγώνου.

Ένα σημείο ${\rm {P}}$ έχει τις εξής βαρυκεντρικές συντεταγμένες ως προς ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$,

${\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}:{\rm {E}}_{\rm {PA\Gamma }}:{\rm {E}}_{\rm {PAB}}$,

όπου ${\rm {E}}$ είναι το προσημασμένο εμβαδόν του αντίστοιχου τριγώνου.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για την ερμηνεία των βαρυκεντρικών συντεταγμένων.

Έστω ${\rm {N}}$ το σημείο τομής της ${\rm {AP}}$ με την ${\rm {B\Gamma }}$. Τότε ${\rm {BN}}:{\rm {N\Gamma }}=t_{\rm {B}}:t_{\rm {\Gamma }}$.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι ${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}=1$. Τότε, καθώς τα τρίγωνα ${\rm {ABN}}$ και ${\rm {AN\Gamma }}$ έχουν κοινό ύψος, έχουμε ότι

${\rm {E}}_{\rm {ABN}}={\frac {t_{\Gamma }}{t_{\rm {B}}+t_{\rm {\Gamma }}}}$ και ${\rm {E}}_{\rm {AN\Gamma }}={\frac {t_{\rm {B}}}{t_{\rm {B}}+t_{\rm {\Gamma }}}}$.

Αντίστοιχα, το ${\rm {P}}$ είναι το κέντρο βάρους των ${\rm {N}}$ (με βάρος $t_{\rm {B}}+t_{\rm {\Gamma }}$) και του ${\rm {A}}$ (με βάρος $t_{\rm {A}}$). Επομένως, ${\rm {AP}}:{\rm {PN}}=(t_{\rm {B}}+t_{\rm {\Gamma }}):t_{\rm {A}}$. Επειδή τα τρίγωνα ${\rm {E}}_{\rm {AP\Gamma }}$ και ${\rm {E}}_{\rm {PN\Gamma }}$ έχουν κοινό ύψος

${\rm {E}}_{\rm {ABP}}=(t_{\rm {B}}+t_{\rm {\Gamma }})\cdot {\rm {E}}_{\rm {ABN}}=t_{\rm {\Gamma }}$.

Παραδείγματα

Παραδείγματα βαρυκεντρικών συντεταγμένων σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Κορυφές τριγώνου

• Η κορυφή ${\rm {A}}$ έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες $1:0:0$,
• Η κορυφή ${\rm {B}}$ έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες $0:1:0$,
• Η κορυφή ${\rm {\Gamma }}$ έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες $0:0:1$.

Μέσα πλευρών

• Το μέσο ${\rm {AB}}$ έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες $1:1:0$,
• Το μέσο ${\rm {B\Gamma }}$ έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες $0:1:1$,
• Το μέσο ${\rm {\Gamma A}}$ έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες $1:0:1$.

Σημείο στην ευθεία ΑΒ

Το σημείο ${\rm {P}}$ της ευθείας ${\rm {AB}}$ έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες

$0:{\rm {\overline {\Gamma P}}}:{\overline {\rm {PB}}}$.

Βαρύκεντρο

Το βαρύκεντρο είναι το κέντρο βάρους για τρία ισοβαρή αντικείμενα. Επομένως οι βαρυκεντρικές του συντεταγμένες είναι $1:1:1$.

Ιδιότητες

• Ένα σημείο με βαρυκεντρικές συντεταγμένες $(t_{\rm {A}},t_{\rm {B}},t_{\rm {\Gamma }})$ έχει Καρτεσιανές συντεταγμένες

$\left({\frac {t_{\rm {A}}\cdot {\rm {A}}_{x}+t_{\rm {B}}\cdot {\rm {B}}_{x}+t_{\rm {\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma }}_{x}}{t_{\rm {A}}+t_{\rm {B}}+t_{\rm {\Gamma }}}},{\frac {t_{\rm {A}}\cdot {\rm {A}}_{y}+t_{\rm {B}}\cdot {\rm {B}}_{y}+t_{\rm {\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma }}_{y}}{t_{\rm {A}}+t_{\rm {B}}+t_{\rm {\Gamma }}}}\right)$.

• Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες είναι ομογενείς, δηλαδή για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό $\lambda \in \mathbb {R} +$ οι τριάδες $(t_{\rm {A}},t_{\rm {B}},t_{\rm {\Gamma }})$ και $(\lambda \cdot t_{\rm {A}},\lambda \cdot t_{\rm {B}},\lambda \cdot t_{\rm {\Gamma }})$ αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο.
• Ένα σημείο με βαρυκεντρικές συντεταγμένες $x:y:z$ έχει τριγραμμικές συντεταγμένες

$x/\alpha :y/\beta :z/\gamma$,

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ οι πλευρές του τριγώνου.

Κέντρα τριγώνου

Έγκεντρο

Το έγκεντρο του τριγώνου έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες

${\displaystyle \alpha$ :\beta :\gamma } ,

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι τα μήκη των πλευρών του.

Παράκεντρα

Τα παράκεντρα του τριγώνου έχουν βαρυκεντρικές συντεταγμένες

${\displaystyle -\alpha$ :\beta :\gamma } ,

${\displaystyle \alpha$ :-\beta :\gamma } ,

${\displaystyle \alpha$ :\beta :-\gamma } .

Περίκεντρο

Το περίκεντρο του τριγώνου έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες

$\alpha ^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\right):\;\beta ^{2}\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right):\;\gamma ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right).$

Ορθόκεντρο

Το ορθόκεντρο έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες

$\tan {\rm {A}}:\tan {\rm {B}}:\tan {\rm {\Gamma }}=(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}):(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})(-\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}):(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2})(-\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$.

Δείτε επίσης

• Καρτεσιανές συντεταγμένες
• Τριγραμμικές συντεταγμένες

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Βαρυκεντρικές συντεταγμένες στο MathWorld.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bottema, O. (1982). «On the area of a triangle in barycentric coordinates». Crux Mathematicorum 8 (8). https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v8n08_Oct.pdf. 
• Dergiades, Nikolaos (2009). «A simple barycentric coordinates formula». Forum Geometricorum (9): 225--228. https://web.archive.org/web/20231025160441/https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200921.pdf.