Δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου

Το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει ότι
$\quad {\tfrac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\tfrac {{\rm {AB}}\cdot {\rm {\Delta A}}+{\rm {B\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma \Delta }}}{{\rm {AB}}\cdot {\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Gamma \Delta }}\cdot {\rm {\Delta A}}}}$.

Στην γεωμετρία, το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου είναι μία σχέση σε εγγεγραμμένα τετράπλευρα, που εκφράζει τον λόγο των διαγωνίων του συναρτήσει των πλευρών του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με πλευρές ${\rm {AB}}=\alpha$, ${\rm {B\Gamma }}=\beta$, ${\rm {\Gamma \Delta }}=\gamma$ και ${\rm {\Delta A}}=\delta$, ισχύει ότι

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Κλαύδιο Πτολεμαίο, αλλά δεν αναφέρεται στα έργα του.

Αποδείξεις

Απόδειξη με εμβαδά  

Το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει ότι
$\quad {\tfrac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\tfrac {{\rm {AB}}\cdot {\rm {\Delta A}}+{\rm {B\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma \Delta }}}{{\rm {AB}}\cdot {\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Gamma \Delta }}\cdot {\rm {\Delta A}}}}$.

Έστω το εγγεγραμμένο σε κύκλο $C$ ακτίνας $R$, τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {B\Delta }}$ οι διαγώνιοί του.
Θα αποδείξουμε οτι ισχύει

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AB\Delta }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο $C$ ακτίνας $R$.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα εμβαδών δύο τριγώνων με τους παρακάτω δύο τρόπους:

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {AB\Delta }}+{\rm {E}}_{\rm {B\Gamma \Delta }}$

${\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}={\frac {{\rm {B\Delta }}\cdot \alpha \cdot \delta }{4R}}+{\frac {{\rm {B\Delta }}\cdot \beta \cdot \gamma }{4R}}$

${\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}={\frac {{\rm {B\Delta }}\cdot \alpha \cdot \delta +{\rm {B\Delta }}\cdot \beta \cdot \gamma }{4R}}$

${\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}={\frac {{\rm {B\Delta }}\cdot (\alpha \cdot \delta +\beta \cdot \gamma )}{4R}}$

(1)

και

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma \Delta }}$

${\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}={\frac {{\rm {A\Gamma }}\cdot \alpha \cdot \beta }{4R}}+{\frac {{\rm {A\Gamma }}\cdot \gamma \cdot \delta }{4R}}$

${\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}={\frac {{\rm {A\Gamma }}\cdot \alpha \cdot \beta +{\rm {A\Gamma }}\cdot \gamma \cdot \delta }{4R}}$

${\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}={\frac {{\rm {A\Gamma }}\cdot (\alpha \cdot \beta +\gamma \cdot \delta )}{4R}}$

(2)

Από τις ισότητες (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι:

${\frac {{\rm {B\Delta }}\cdot (\alpha \cdot \delta +\beta \cdot \gamma )}{4R}}={\frac {{\rm {A\Gamma }}\cdot (\alpha \cdot \beta +\gamma \cdot \delta )}{4R}}$,

από την οποία βρίσκουμε ότι:

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}$.

που είναι η ζητούμενη.

$\square$

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων  

Τα τρίγωνα ${\rm {AI\Delta }}$ και ${\rm {BI\Gamma }}$, και τα ${\rm {AIB}}$ και ${\rm {\Gamma I\Delta }}$ είναι όμοια.

Έστω το εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$. Φέρνουμε τις διαγωνίους ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ οι οποίες τέμνονται έστω στο σημείο ${\rm {I}}$.
Τα τρίγωνα ${\rm {AI\Delta }}$ και ${\rm {BI\Gamma }}$ έχουν ${\widehat {\rm {AI\Delta }}}={\widehat {\rm {BI\Gamma }}}$ (ως κατακορυφήν γωνίες) και ${\widehat {\rm {A\Delta B}}}={\widehat {\rm {B\Gamma A}}}$ (ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο τόξο ${\rm {AB}}$). Άρα είναι όμοια και έπεται ότι:

${\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {IA}}{\rm {IB}}}={\frac {\rm {I\Delta }}{\rm {I\Gamma }}}$.

Επίσης, τα τρίγωνα ${\rm {AIB}}$ και ${\rm {\Gamma I\Delta }}$ έχουν ${\widehat {\rm {AIB}}}={\widehat {\rm {\Delta I\Gamma }}}$ (ως κατακορυφήν γωνίες) και ${\widehat {\rm {BA\Gamma }}}={\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}$ (ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο τόξο ${\rm {B\Gamma }}$). Άρα είναι όμοια και έπεται ότι:

${\frac {\rm {AB}}{\rm {\Gamma \Delta }}}={\frac {\rm {IA}}{\rm {I\Delta }}}={\frac {\rm {IB}}{\rm {I\Gamma }}}$.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις, τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τους τύπους

${\rm {A\Gamma }}={\rm {IA}}+{\rm {I\Gamma }}={\rm {I\Delta }}\cdot {\frac {\rm {AB}}{\rm {\Gamma \Delta }}}+{\rm {I\Delta }}\cdot {\frac {\rm {B\Gamma }}{\rm {A\Delta }}}$,

και

${\rm {B\Delta }}={\rm {IB}}+{\rm {I\Delta }}={\rm {I\Gamma }}\cdot {\frac {\rm {AB}}{\rm {\Gamma \Delta }}}+{\rm {I\Gamma }}\cdot {\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Gamma }}}$.

Διαιρούμε κατά μέλη τις ισότητες και έχουμε:

${\begin{aligned}{\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}&={\frac {\rm {I\Delta }}{\rm {I\Gamma }}}\cdot {\frac {\frac {\rm {AB\cdot A\Delta +B\Gamma \cdot \Gamma \Delta }}{\rm {\Gamma \Delta \cdot A\Delta }}}{\frac {\rm {AB\cdot B\Gamma +\Gamma \Delta \cdot A\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta \cdot B\Gamma }}}}\\&={\frac {{\rm {AB}}\cdot {\rm {\Delta A}}+{\rm {B\Gamma }}\cdot {\rm {\Gamma \Delta }}}{{\rm {AB}}\cdot {\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Gamma \Delta }}\cdot {\rm {\Delta A}}}}\end{aligned}}$,

που είναι η ζητούμενη.

$\square$

Δείτε επίσης

• Θεώρημα του Πτολεμαίου
• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο