Τετράπλευρο

Απλό κυρτό τετράπλευρο.

Απλό κοίλο τετράπλευρο.

Μη απλό τετράπλευρο.

Στην γεωμετρία, το τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις κορυφές και τέσσερις πλευρές. Ένα τετράπλευρο με κυρτό χωρίο λέγεται κυρτό τετράπλευρο. Ένα τετράπλευρο του οποίου οι μη-διαδοχικές πλευρές δεν τέμνονται, λέγεται απλό.

Ταξινόμηση

Ταξινόμηση τετραπλεύρων

Τα τετράπλευρα μπορούν να ταξινομηθούν βάσει διαφόρων κριτηρίων όπως την κυρτότητα του χωρίου, την παραλληλία των πλευρών και την ισότητα γωνιών ή πλευρών, την καθετότητα των διαγωνίων του, κ.ά.

Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις είναι συγκεκριμένα οι παρακάτω:

• Τραπέζιο: ένα κυρτό τετράπλευρο όπου δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
• Ισοσκελές τραπέζιο: ένα τραπέζιο όπου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
• Ορθογώνιο τραπέζιο: ένα τραπέζιο με δύο ορθές γωνίες προσκείμενες σε μία μη-παράλληλη πλευρά.
• Παραλληλόγραμμο: ένα κυρτό τετράπλευρο όπου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες (και ίσες).
• Ορθογώνιο: ένα παραλληλόγραμμο με τέσσερις ορθές γωνίες.
• Ρόμβος: ένα παραλληλόγραμμο όπου όλες του οι πλευρές είναι ίσες.
• Τετράγωνο: ένα παραλληλόγραμμο που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος. Είναι το κανονικό τετράπλευρο, καθώς έχει όλες του τις πλευρές και τις γωνίες ίσες.
• Ορθοδιαγώνιο: ένα τετράπλευρο όπου οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα.
• δελτοειδές: ένα τετράπλευρο με τις γειτονικές πλευρές ίσες ανά δύο.
• Εγγράψιμο: ένα τετράπλευρο του οποίου οι κορυφές ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• Περιγράψιμο: ένα τετράπλευρο για το οποίο υπάρχει κύκλος που εφάπτεται σε όλες του τις πλευρές. Αν ο κύκλος είναι εξωτερικός, τότε λέγεται περιγεγραμμένο.

Βασικές ιδιότητες

• Σε κάθε απλό τετράπλευρο το άθροισμα των γωνιών του είναι $360^{\circ }$.

Απλό κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με τις διαγωνίους του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$.

• Κάθε τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους.
• Σε ένα κυρτό τετράπλευρο οι δύο διαγώνιοι τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του τετραπλεύρου.

Εμβαδόν

Έστω ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$. Υπάρχουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν του:

• (Τύπος Bretschneider) Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ισούται με

$\mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\frac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos({\rm {A}}+{\rm {\Gamma }}))}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετράπλευρου.

• (Τύπος Βραχμαγκούπτα) Στην ειδική περίπτωση που το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (και ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }$), ο τύπος απλοποείται σε

${\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}$.

• Αν $\delta _{1}={\rm {A\Gamma }}$ και $\delta _{2}={\rm {B\Delta }}$ τα μήκη των διαγωνίων του και $\varphi$ η μεταξύ τους γωνία, τότε

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\delta _{1}\cdot \delta _{2}\sin \varphi$.

• Στην ειδική περίπτωση των ορθοδιαγώνιων τετραπλεύρων (όπου $\varphi =90^{\circ }$), ο τύπος απλοποιείται σε

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\delta _{1}\cdot \delta _{2}$.

• Αν $\delta _{1}={\rm {A\Gamma }}$ και $\delta _{2}={\rm {B\Delta }}$ τα μήκη των διαγωνίων του και $\mu _{1},\mu _{2}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του τότε

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\delta _{1}^{2}\cdot \delta _{2}^{2}-(\mu _{1}^{2}-\mu _{2}^{2})^{2}}}$.

• Έστω ${\vec {p}}$ και ${\vec {q}}$ τα διανύσματα των διαγωνίων του τετράπλευρου, τότε το εμβαδόν του ισούται με το μέτρο του εξωτερικού γινομένου τους,

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot |{\vec {p}}\times {\vec {q}}|$.

• Από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι αν ${\rm {A}}=(x_{1},y_{1})$, ${\rm {B}}=(x_{2},y_{2})$, ${\rm {\Gamma }}=(x_{3},y_{3})$ και ${\rm {\Delta }}=(x_{4},y_{4})$, τότε

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}|(x_{3}-x_{1})\cdot (y_{4}-y_{2})-(x_{4}-x_{2})\cdot (y_{3}-y_{1})|$.

• Από όλα τα τετράπλευρα με την ίδια περίμετρο, το τετράγωνο είναι το τετράπλευρο με το μέγιστο εμβαδόν.

Διαγώνιοι

Για τις διαγώνιους $\delta _{1}={\rm {A\Gamma }}$ και $\delta _{2}={\rm {B\Delta }}$ του τετράπλευρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

• Από τον νόμο των συνημιτόνων, σε ένα κυρτό πολύγωνο, ισχύει ότι

$\delta _{1}={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cos {\rm {B}}}}={\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\gamma \delta \cos {\rm {\Delta }}}}$,

και

$\delta _{2}={\sqrt {\alpha ^{2}+\delta ^{2}-2\alpha \delta \cos {\rm {A}}}}={\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\beta \gamma \cos {\rm {\Gamma }}}}$.

• Το γινόμενο των διαγωνίων δίνεται από τον τύπο

$\delta _{1}^{2}\delta _{2}^{2}=\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\delta ^{2}-2\alpha \beta \gamma \delta \cos {({\rm {A}}+{\rm {\Gamma }})}.$

• (Θεώρημα Όιλερ) Σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, ισχύει ότι

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=\delta _{1}^{2}+\delta _{2}^{2}+4\cdot {\rm {MN}}^{2}$,

όπου ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του $\delta _{1}$ και $\delta _{2}$ αντίστοιχα.

• Η γωνία $\varphi$ μεταξύ των διαγωνίων ικανοποιεί

$\cos \varphi ={\frac {\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2}}{2\delta _{1}\delta _{2}}}$.

• Η τομή των διαγωνίων είναι το σημείο που ελαχιστοποιεί την απόσταση προς τις κορυφές του τετράπλευρου, και επομένως είναι το σημείο Φερμά του τετράπλευρου.

Ευθεία Νεύτωνα: η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

• (Ευθεία Νεύτωνα) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετράπλευρου (που δεν είναι παραλληλόγραμμο) είναι η ευθεία που περιέχει τα μέσα των διαγωνίων της, και επίσης περιέχει το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέει τα μέσα των απέναντι πλευρών της.

Θεώρημα Αν: Το άθροισμα των πράσινων και μπλε εμβαδών είναι ίσο ανν το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα.

• (Θεώρημα Αν) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {P}}$ που ικανοποιούν την εξής σχέση

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}$.

Θεώρημα Μπρούνε: Τα τέσσερα χρωματιστά τετράπλευρα έχουν ίσα εμβαδά.

• (Θεώρημα Μπρούνε) Έστω ${\rm {M}}$ και ${\rm {N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ αντίστοιχα, και ${\rm {O}}$ το σημείο που τέμνεται η παράλληλη από το ${\rm {M}}$ στην ${\rm {B\Delta }}$ και από την ${\rm {N}}$ στην ${\rm {A\Gamma }}$. Τότε, τα τετάπλευρα που σχηματίζονται ενώνοντας το ${\rm {O}}$ με τα μέσα ${\rm {M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}}$ των πλευρών του τετραπλεύρου έχουν ίσα εμβαδά, δηλαδή

${\rm {E_{M_{4}AM_{1}O}=E_{M_{1}BM_{2}O}=E_{M_{2}\Gamma M_{3}O}=E_{M_{3}\Delta M_{1}O}={\frac {1}{4}}E_{AB\Gamma \Delta }}}$.

Ανισοτικές σχέσεις

• (Ανισότητα Πτολεμαίου) Σε κάθε μη εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ το γινόμενο των διαγωνίων του είναι μικρότερο από το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών του

${\rm {A\Gamma \cdot B\Delta <AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}$.

• Για οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ ενός κυρτού τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, ισχύει ότι

${\rm {A\Gamma +B\Delta \leq AP+BP+\Gamma P+\Delta P}}$.

Σημείωση: Αυτό αποδεικνύει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραπλεύρου είναι το σημείο που ελαχιστοποιεί τις αποστάσεις από τις κορυφές του.

• Από το θεώρημα του Όιλερ, έπεται ότι

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}\geq A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}}}$.

• Σε κάθε τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$,

${\rm {A\Gamma +B\Delta >AB+A\Gamma }}$ και $\tau <{\rm {A\Gamma +B\Delta <2\tau }}$,

όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Διχοτόμοι

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.

• Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο).

Κύκλοι Όιλερ

Σημείο Πονσελέ ${\rm {P}}$ τετραπλεύρου.

(Σημείο Πονσελέ) Οι κύκλοι Όιλερ που ορίζουν τα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$ συντρέχουν.

Βαρύκεντρο τετραπλεύρου

• (Θεώρημα Βαρινιόν) Σε ένα τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών του, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό είναι γνωστό ως το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν και έχει
  • εμβαδόν ίσο με το μισό του τετραπλεύρου, και
  • περίμετρο ίση με το ημιάθροισμα των διαγωνίων του.
• Τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα απέναντι μέσα διχοτομούνται. Το σημείο που διχοτομούνται είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου Βαρινιόν και το βαρύκεντρο του τετραπλεύρου.

Ιδιότητες

• Το βαρύκεντρο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τετραπλεύρου.
• Οι τέσσερις ευθείες που ενώνουν τις κορυφές του τετραπλεύρου με τα βαρύκεντρα των τριγώνων που σχηματίζονται από υπόλοιπες τρεις κορυφές συντρέχουν στο βαρύκεντρο του τετραπλεύρου.

Παραλληλόγραμμο Βαρινιόν: Τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Τα τμήματα ${\rm {M_{1}M_{3}}}$, ${\rm {M_{2}M_{4}}}$ και ${\rm {M_{5}M_{6}}}$ διχοτομούνται στο βαρύκεντρο του τετραπλεύρου.

Ευθείες που συντρέχουν στο βαρύκεντρο ενός τετραπλεύρου.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Κάκκουλος, Θ.; Νεστορίδης, Β.; Παπαδάτος, Ν. (Ιουλίου 2021). «Μέγιστο εμβαδό κυρτών τετραπλεύρων με δοσμένα μήκη πλευρών». Ευκλείδης Β΄ (121): 71-76. http://niobe.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t121_2021.pdf. 
• «Το στρεβλό τετράπλευρο». Ευκλείδης Β΄ (2): 31-33. 1977. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2919. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Dergiades, Nikolaos; Christodoulou, Dimitris M. (2017). «The two incenters of an arbitrary convex quadrilateral». Forum Geometricorum (17): 245-254. https://web.archive.org/web/20240616123126/https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201727.pdf. 
• Ferguso, D. F. (Φεβρουαρίου 1944). «1702. A note on quadrilaterals». The Mathematical Gazette 28 (278): 29–30. doi:10.2307/3607362. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1944-02_28_278/page/29. 
• Foss, V. W. (Φεβρουαρίου 1959). «2824. Centre of gravity of a quadrilateral». The Mathematical Gazette 43 (343): 46–46. doi:10.2307/3608882. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1959-02_43_343/page/46. 
• O’Reilly, J.C. (Μαΐου 1952). «2277. Construction of a quadrilateral (Note 2156)». The Mathematical Gazette 36 (316): 122–122. doi:10.2307/3610330. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1952-05_36_316/page/122. 
• Robertson, S. A. (Μαρτίου 1977). «Classifying triangles and quadrilaterals». The Mathematical Gazette 61 (415): 38–49. doi:10.2307/3617441. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1977-03_61_415/page/38. 
• Keady, G.; Scales, P.; Németh, P. (Νοεμβρίου 2004). «Watt linkages and quadrilaterals». The Mathematical Gazette 88 (513): 475–492. doi:10.1017/S0025557200176107. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2004-11_88_513/page/475. 
• Beardon, A. F. (Νοεμβρίου 2017). «101.34 The area of a quadrilateral». The Mathematical Gazette 101 (552): 492–494. doi:10.1017/mag.2017.136. 
• Fink, A.M. (Νοεμβρίου 2014). «98.30 The isoperimetric inequality for quadrilaterals». The Mathematical Gazette 98 (543): 504–504. doi:10.1017/S0025557200008275. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2014-11_98_543/page/504. 
• Knox, Katherine (2 Αυγούστου 2023). «Billiard Circuits in Quadrilaterals». The American Mathematical Monthly: 1–5. doi:10.1080/00029890.2023.2230860. 
• Pamfilos, Paris (2017). «On some elementary properties of quadrilaterals». Forum Geometricorum (17): 473-482. https://web.archive.org/web/20230127214100/https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201746.pdf. 

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο
• Τετράγωνο
• Πολύγωνο