Ιαπωνικό θεώρημα

Οι εγγγεγραμμένοι κύκλοι $({\rm {I}}_{1},\rho _{1}$, $({\rm {I}}_{2},\rho _{2})$, $({\rm {I}}_{3},\rho _{3})$, $({\rm {I}}_{4},\rho _{4})$ των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$.

Στην γεωμετρία, το Ιαπωνικό θεώρημα για εγγεγραμμένα τετράπλευρα λέει ότι σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ για τις ακτίνες $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4}$ των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$ ισχύει ότι

$\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Απόδειξη

Σχήμα για την απόδειξη του ιαπωνικού θεωρήματος για τετράπλευρα.

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Καρνό για τα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$. Καθώς το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο έχουμε ότι η ${\hat {\rm {B}}}$ και η ${\hat {\rm {\Delta }}}$ είναι παραπληρωματικές γωνίες. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε ότι ${\hat {\rm {B}}}>90^{\circ }$. Έστω $s_{1}\in \{-1,1\}$ με $s_{1}=1$ ανν το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και το περίκεντρο ${\rm {O}}$ είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία της ${\rm {AB}}$. Αντίστοιχα, ορίζουμε $s_{2},s_{3},s_{4}\in \{-1,1\}$ για τις πλευρές ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$

Τότε για το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ ισχύει ότι

$R+\rho _{1}=-{\rm {OM_{5}}}+s_{1}\cdot {\rm {OM_{1}}}+2_{2}\cdot {\rm {OM_{2}}}$,

όπου ${\rm {M}}_{1}$, ${\rm {M}}_{2}$, ${\rm {M}}_{3}$, ${\rm {M}}_{4}$, ${\rm {M}}_{5}$ τα μέσα των ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$ και ${\rm {A\Gamma }}$, αντίστοιχα, και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου.

Παρομοίως, για το τρίγωνο ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

$R+\rho _{3}={\rm {OM_{5}}}+s_{3}\cdot {\rm {OM_{3}}}+s_{4}\cdot {\rm {OM_{4}}}$,

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε ότι

$\rho _{1}+\rho _{3}=s_{1}\cdot {\rm {OM_{1}}}+s_{2}\cdot {\rm {OM_{2}}}+s_{3}\cdot {\rm {OM_{3}}}+s_{4}\cdot {\rm {OM_{4}}}-2R$.

Αντίστοιχα, από τα τρίγωνα ${\rm {AB\Delta }}$ και ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, λαμβάνουμε ότι

$\rho _{2}+\rho _{4}=s_{1}\cdot {\rm {OM_{1}}}+s_{2}\cdot {\rm {OM_{2}}}+s_{3}\cdot {\rm {OM_{3}}}+s_{4}\cdot {\rm {OM_{4}}}-2R$.

Καταλήγουμε ότι $\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Έχουν δημοσιευθεί και άλλες αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένων κάποιων που χρησιμοποιούν μεταφορά γωνιών και άλλων που χρησιμοποιούν το θεώρημα Thébault.

Για εγγεγραμμένα πολύγωνα

Δύο τριγωνισμοί ενός εγγεραμμένου πενταγώνου, για τα οποία ισχύει ότι $\rho _{1}+\rho _{2}+\rho _{3}$ είναι το ίδιο.

Το θεώρημα γενικεύεται για εγγεγραμμένα πολύγωνα, όπου οποιοσδήποτε τριγωνισμός του πολυγώνου δίνει το ίδιο άθροισμα ακτινών των εγγεγραμμένων τους κύκλων.

Αυτή η γενίκευση μπορεί να αποδειχτεί με μία τροποποίηση της παραπάνω απόδειξης. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τρίγωνο ${\rm {A}}_{i}{\rm {B}}_{i}{\rm {\Gamma }}_{i}$ εφαρμόζουμε το θεώρημα Καρνό και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη. Κάθε όρος ${\rm {OM}}_{j}$ όπου ${\rm {M}}_{j}$ το μέσο μίας διαγωνίου εμφανίζεται μία φορά με αρνητικό πρόσιμο και μία με θετικό, άρα απαλοίφεται από το άθροισμα. Εν αντιθέσει, κάθε όρος ${\rm {OM}}_{j}$ όπου ${\rm {M}}_{j}$ το μέσο μίας πλευράς εμφανίζεται μία φορά στο άθροισμα και κάθε φορά με το ίδιο πρόσιμο $s_{i}$. Επομένως, το άθροισμα είναι ίσο με

$\sum _{i=1}^{n-1}\rho _{i}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\cdot {\rm {OM}}_{i}-(n-1)\cdot R$,

και ανεξάρτητο του τριγωνισμού.

Δείτε επίσης

• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
• Θεώρημα Καρνό (ακτίνες)