Κύκλος των οκτώ σημείων

Σε ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο τα μέσα των πλευρών και οι προβολές τους στις απέναντι πλευρές είναι ομοκύκλια σημεία.

Στην γεωμετρία, ο κύκλος των οκτώ σημείων αναφέρεται σε έναν κύκλο που εμφανίζεται στα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα, και διέρχεται από τα μέσα των πλευρών και τα ίχνη αυτών προς τις απέναντι πλευρές. Το κέντρο του κύκλου είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου Βαρινιόν του τετραπλεύρου.

Πιο συγκεκριμένα, το θεώρημα λέει ότι σε ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τα μέσα ${\rm {M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}}$ των πλευρών και ${\rm {Z_{1},Z_{2},Z_{3},Z_{4}}}$ τα ίχνη των μέσων προς τις απέναντι πλευρές (δηλαδή ${\rm {M_{1}Z_{3}\perp \Gamma \Delta }}$, ${\rm {M_{2}Z_{4}\perp \Delta A}}$, ${\rm {M_{3}Z_{1}\perp AB}}$ και ${\rm {M_{4}Z_{2}\perp B\Gamma }}$) είναι ομοκύκλια σημεία.

Η ονομασία προέρχεται από τον L. Brand που δημοσίευσε για αυτόν τον κύκλο το 1944, και προέρχεται από τον κύκλο των εννέα σημείων σε ένα τρίγωνο.

Απόδειξη

Από το θεώρημα Βαρινιόν, τα μέσα των πλευρών του τετραπλεύρου σχηματίζουν παραλληλόγραμμο με πλευρές παράλληλες ανά δύο στις διαγωνίους του. Αφού οι διαγώνιοι είναι κάθετες μεταξύ τους, έπεται ότι το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο. Επομένως, ο κύκλος που περνάει από τα μέα των πλευρών του έχει κέντρο την τομή ${\rm {O}}$ των διαγωνίων του.

Έστω ${\rm {Z_{1}}}$ το ίχνος του ${\rm {M_{3}}}$ στην πλευρά ${\rm {\Gamma \Delta }}$. Τότε η γωνία ${\widehat {\rm {M_{1}Z_{1}M_{3}}}}$ είναι ορθή. Επομένως, αφού ${\rm {M_{1}M_{3}}}$ είναι η διάμετρος του κύκλου, έχουμε ότι το σημείο ${\rm {Z_{1}}}$ ανήκει στον κύκλο. Αντίστοιχα και για τα υπόλοιπα ίχνη.$\quad \square$

Δείτε επίσης

• Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο
• Κύκλος των εννέα σημείων

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Κύκλος των οκτώ σημείων στο WolframAlpha.
• Κύκλος των οκτώ σημείων στο cut-the-knot.
• Διαδραστική εφαρμογή για τον κύκλο των οκτώ σημείων στο Desmos.