Θεώρημα Βαρινιόν

Τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βαρινιόν δηλώνει ότι σε ένα οποιοδήποτε κυρτό τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών του, είναι κορυφές παραλληλόγραμμου. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Πιερ Βαρινιόν, που το αναφέρει στις διαλέξεις του που δημοσιεύτηκαν το 1731.

Αποδείξεις

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα Βαρινιόν. Παρακάτω παραθέτουμε δύο από αυτές.

Απόδειξη (Με το θεώρημα του Θαλή)  

Οι $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ και $\mathrm {M_{3}M_{4}}$ είναι παράλληλες και ίσες με το μισό της $\mathrm {A\Gamma }$.

Έστω ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}}$ τα μέσα των πλευρών του ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο $\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$ είναι παραλληλόγραμμο.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή στo τρίγωνo $\mathrm {AB\Gamma }$ το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών του, συνεπώς είναι

$\mathrm {M_{1}M_{2}} \parallel ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A\Gamma }$.

Ομοίως, στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$,το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {M_{3}M_{4}}$ ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών του, συνεπώς είναι

$\mathrm {M_{3}M_{4}} \parallel ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A\Gamma }$.

Άρα είναι $\mathrm {M_{1}M_{2}} \parallel =\mathrm {M_{3}M_{4}}$. Επομένως, το τετράπλευρο $\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$ έχει δύο πλευρές ίσες και παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο.$\quad \square$

Απόδειξη (Με διανύσματα)  

Έστω ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}}$ τα μέσα των πλευρών του ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$ αντίστοιχα.
Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο $\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$ είναι παραλληλόγραμμο.
Θεωρούμε ένα τυχόν σημείο αναφοράς ${\rm {O}}$ και έχουμε ότι

${\vec {\mathrm {OM} _{1}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {AB} }}$,
${\vec {\mathrm {OM} _{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {B\Gamma } }}$,
${\vec {\mathrm {OM} _{3}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {\Gamma \Delta } }}$ και
${\vec {\mathrm {OM} _{4}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {\Delta A} }}$.

Επομένως,

${\vec {\mathrm {M_{1}M_{2}} }}={\vec {\mathrm {M_{1}B} }}+{\vec {\mathrm {BM_{2}} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {AB} }}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {B\Gamma } }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\vec {\mathrm {AB} }}+{\vec {\mathrm {B\Gamma } }})={\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {A\Gamma } }}$,

και

${\vec {\mathrm {M_{3}M_{4}} }}={\vec {\mathrm {M_{3}\Delta } }}+{\vec {\mathrm {\Delta M_{4}} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {\Gamma \Delta } }}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {\Delta A} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\vec {\mathrm {\Gamma \Delta } }}+{\vec {\mathrm {\Delta A} }})=-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {A\Gamma } }}$.

Άρα ${\vec {\mathrm {M_{1}M_{2}} }}=-{\vec {\mathrm {M_{3}M_{4}} }}$ που σημαίνει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ και $\mathrm {M_{3}M_{4}}$ είναι παράλληλα και ίσα.

Συνεπώς, το τετράπλευρο $\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\square$

Ιδιότητες

Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι πλευρές του είναι ανά δύο ίσες με το μισό μίας εκ των διαγωνίων του τετραπλεύρου.
• Η περίμετρος του είναι ίση με το άθροισμα των διαγωνίων του τετραπλεύρου.
• Το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του τετραπλεύρου.

Απόδειξη  

Για το τρίγωνο ${\rm {AM_{1}M_{4}}}$ αφού ${\rm {M_{1}M_{4}}}$ είναι τα μέσα των ${\rm {AB}}$ και ${\rm {A\Delta }}$ έχουμε ότι

$\mathrm {E} _{\rm {AM_{1}M_{4}}}={\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {AB\Delta }}$,

και αντίστοιχα

$\mathrm {E} _{\rm {\Gamma M_{1}M_{4}}}={\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {\Gamma B\Delta }}$.

Προσθέτοντας κατά μέλη λαμβάνουμε ότι

$\mathrm {E} _{\rm {AM_{1}M_{4}}}+\mathrm {E} _{\rm {\Gamma M_{1}M_{4}}}={\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {AB\Delta }}+{\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {\Gamma B\Delta }}={\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Αντίστοιχα,

$\mathrm {E} _{\rm {BM_{1}M_{2}}}+\mathrm {E} _{\rm {\Delta M_{1}M_{2}}}={\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {BA\Gamma }}+{\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {\Delta A\Gamma }}={\frac {1}{4}}\mathrm {E} _{\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Τέλος,

$\mathrm {E} _{\rm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}}=\mathrm {E} _{\rm {AB\Gamma \Delta }}-(\mathrm {E} _{\rm {AM_{1}M_{4}}}+\mathrm {E} _{\rm {\Gamma M_{1}M_{4}}}+\mathrm {E} _{\rm {BM_{1}M_{2}}}+\mathrm {E} _{\rm {\Delta M_{1}M_{2}}})={\frac {1}{2}}\mathrm {E} _{\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Ειδικές περιπτώσεις

Στα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα, δηλαδή στα τετράπλευρα όπου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν είναι ορθογώνιο.

Σε ένα τετράπλευρο με ίσες διαγωνίους, το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν είναι ρόμβος.

Το (ορθογώνιο) παραλληλόγραμμο Βαρινιόν για ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο.

Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν για ένα τετράπλευρο που έχει ίσες διαγωνίους είναι ρόμβος.

Γενικεύσεις

Διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος Βαρινιόν (Corollaire IV) στο Elemens de Mathematics (1731).

Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν μελετηθεί σε πολύγωνα και στον τρισδιάστατο χώρο. Πιο συγκεκριμένα, η παραπάνω απόδειξη με χρήση διανυσμάτων ισχύει και για στρεβλά τετράπλευρα, δηλαδή τετράπλευρα των οποίων δεν ανήκουν όλες οι κορυφές στο ίδιο επίπεδο.

Δείτε επίσης

• Μέσο (σημείο)
• Παραλληλόγραμμο
• Θεώρημα τομής του Θαλή

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα Βαρινιόν στο MathWorld.
• Παραλληλόγραμμο Βαρινιόν στο Cut The Knot.
• Θεώρημα Βαρινιόν: Απόδειξη χωρίς λόγια στο Cut The Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή με το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν στο Desmos.
• Διαδραστική εφαρμογή με το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν στο Geogebra.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bataille, Michel (2007). «Cyclic quadrilaterals with prescribed Varignon parallelogram». Forum Geometricorum (7): 199-206. https://web.archive.org/web/20240105154717/https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200727.pdf.