Θεώρημα του Όιλερ (τετράπλευρα)

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Όιλερ στα τετράπλευρα είναι μία μετρική σχέση σε ένα τετράπλευρο που συνδέει τα τετράγωνα των πλευρών, των διαγωνίων και του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ , ισχύει ότι^[1]

{\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot MN^{2}}}

,

όπου ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ αντίστοιχα.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1750.^[2]^:64-65

Αποδείξεις

Απόδειξη με πρώτο θεώρημα διαμέσων

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ για τη διάμεσο ${\rm {BM}}$ έχουμε ότι

${\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2}=2\cdot {\rm {BM}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}$ .

(1)

Αντίστοιχα στο τρίγωνο ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ για τη διάμεσο ${\rm {\Delta M}}$ έχουμε ότι

${\rm {\Gamma \Delta }}^{2}+{\rm {A\Delta }}^{2}=2\cdot {\rm {\Delta M}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}$ .

(2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε ότι

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+2\cdot (BM^{2}+M\Delta ^{2})}}$ .

(3)

Έπειτα από το τρίγωνο ${\rm {BM\Delta }}$ για την διάμεσο ${\rm {MN}}$ ισχύει ότι

${\rm {BM}}^{2}+{\rm {M\Delta }}^{2}=2\cdot {\rm {MN}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\rm {B\Delta }}^{2}$ .

(4)

Συνδυάζοντας με την (3) με την (4), καταλήγουμε την ζητούμενη σχέση

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot MN^{2}}}$ .

$\square$

Απόδειξη με διανύσματα

Από το άθροισμα διανυσμάτων έχουμε ότι:

{\rm {{\vec {AB}}={\vec {AN}}-{\vec {MN}}+{\vec {MB}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}-{\vec {MN}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {B\Delta }}}}

,

και αντίστοιχα

{\rm {{\vec {B\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {MN}}+{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}

,

{\rm {{\vec {\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {MN}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}

, και

{\rm {{\vec {\Delta A}}=-{\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {MN}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}

.

Από αυτές τις σχέσεις προκύπτει ότι

{\rm {AB^{2}={\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}-MN\cdot A\Gamma +MN\cdot B\Delta -{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}

,

και αντίστοιχα

{\rm {B\Gamma ^{2}={\vec {B\Gamma }}\cdot {\vec {B\Gamma }}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}+MN\cdot A\Gamma +MN\cdot B\Delta +{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}

,

{\rm {\Gamma \Delta ^{2}={\vec {\Gamma \Delta }}\cdot {\vec {\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}+MN\cdot A\Gamma -MN\cdot B\Delta -{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}

,

{\rm {\Delta A^{2}={\vec {\Delta A}}\cdot {\vec {\Delta A}}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{MN}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}-MN\cdot A\Gamma ^{2}-MN\cdot B\Delta +{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}

.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση. $\quad \square$

Απόδειξη Όιλερ με τον νόμο του παραλληλογράμμου

(Αριστερά) Τα

{\rm {E}}

και

{\rm {Z}}

είναι τέτοια ώστε το

{\rm {AB\Gamma E}}

και

{\rm {A\Delta \Gamma Z}}

να είναι παραλληλόγραμμα. (Δεξιά) Το διάγραμμα από την αρχική δημοσίεση του Όιλερ^:E1750.

Στην δημοσίευση του Όιλερ το 1750^[2] δίνεται η εξής απόδειξη για αυτό το θεώρημα. Θεωρούμε το σημείο ${\rm {E}}$ ώστε το παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma E}}$ να είναι παραλληλόγραμμο, και το σημείο ${\rm {Z}}$ ώστε το ${\rm {A\Delta \Gamma Z}}$ να είναι παραλληλόγραμμο.

Εφαρμόζοντας τον νόμο του παραλληλογράμμου στο ${\rm {AB\Gamma E}}$ έχουμε ότι

${\rm {2\cdot (AB^{2}+B\Gamma ^{2})=A\Gamma ^{2}+BE^{2}}}$ .

(1)

Αντίστοιχα, εφαρμόζοντας τον νόμο του παραλληλογράμμου στο ${\rm {A\Delta \Gamma Z}}$ έχουμε ότι

${\rm {2\cdot (\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2})=A\Gamma ^{2}+\Delta Z^{2}}}$ .

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+A\Delta ^{2}=B\Delta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\cdot (BE^{2}+\Delta Z^{2})}}$ .

(3)

Το ${\rm {B\Delta EZ}}$ είναι επίσης παραλληλόγραμμο καθώς οι διαγώνιοι του ${\rm {\Delta Z}}$ και ${\rm {BE}}$ διχοτομούνται στο ${\rm {M}}$ . Επομένως

${\rm {2\cdot (B\Delta ^{2}+\Delta E^{2})=BE^{2}+\Delta Z^{2}}}$ .

(4)

Από το θεώρημα του Θαλή έχουμε ότι

{\rm {\Delta E=2\cdot MN}}

.

Άρα συνδυάζοντας τις (4) και (5) λαμβάνουμε ότι

${\rm {BE^{2}+\Delta Z^{2}=2\cdot (A\Gamma ^{2}+4MN^{2})}}$ .

(5)

Αντικαθιστώντας στην (3), καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση

${\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot MN^{2}}}$ .

$\square$

Ειδικές περιπτώσεις

Σε ένα παραλληλόγραμμο, τα δύο μέσα ${\rm {M}}$ και ${\rm {N}}$ ταυτίζονται, δηλαδή ${\rm {MN=0}}$ και συνεπώς λαμβάνουμε τον νόμο του παραλληλογράμμου,

2\cdot ({\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2})={\rm {A\Gamma }}^{2}+{\rm {B\Delta }}^{2}

.

Σε ένα ορθογώνιο, οι δύο διαγώνιοι είναι ίσες άρα λαμβάνουμε ότι

2\cdot ({\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2})=2\cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}

,

που είναι ισοδύναμο με το Πυθαγόρειο θεώρημα

{\rm {AB}}^{2}+{\rm {B\Gamma }}^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}

.

Όταν ${\rm {\Delta =\Gamma }}$ , τότε το ${\rm {N}}$ είναι το μέσο της ${\rm {B\Gamma }}$ το θεώρημα Όιλερ δίνει ότι

{\rm {MN={\tfrac {1}{2}}AB}}

,

δηλαδή ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλη και ίση με το μισό της τρίτης.

Όταν ${\rm {\Delta =M}}$ , τότε επίσης ${\rm {N=M}}$ και το θεώρηαμα Όιλερ δίνει

{\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}=2\cdot BM^{2}+{\tfrac {1}{2}}A\Gamma }}

,

δηλαδή το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο

{\rm {AB\Gamma }}

και την διάμεσο

{\rm {BM}}

.

Γενίκευση

Η παραπάνω απόδειξη με την χρήση διανυσμάτων ισχύει επίσης για κάθε στρεβλό τετράπλευρο, δηλαδή για τετράπλευρα που οι κουρφές του δεν ανήκουν κατά ανάγκη στο ίδιο επίπεδο.^[3]^[4]

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Όιλερ στο Geogebra.

Ξενόγλωσσα άρθρα

Haunsperger, Deanna· Kennedy, Stephen (2006). The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. MAA. σελίδες 137–139. ISBN 9780883855553.
Debnath, Lokenath (2010). The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute. World Scientific. σελίδες 105–107. ISBN 9781848165267.
Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA. σελίδες 33–36. ISBN 9780883855638.
Dence, Joseph B.; Dence, Thomas P. (2001). «Property of Quadrilaterals». The College Mathematics Journal 32 (4): 292-294. doi:10.2307/2687567. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2001-09_32_4/page/292.

Παραπομπές

↑ Αργυρόπουλος, Ηλίας· Βλάμος, Παναγιώτης· Κατσούλης, Γεώργιος· Μαρκάτης, Στυλιανός· Σιδερής, Πολυχρόνης. «Κεφάλαιο 9ο: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β'. Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ».
1 2 Euler, Leonhard (1750). «Variae demostrationes geometriae [Διάφορα γεωμετρικά θεωρήματα]» (στα la). Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/135/.
↑ Κισκύρας, Ν. Α. (1981). «Θεωρήματα και προβλήματα για το στρεβλό τετράπλευρο». Ευκλείδης Β΄ (Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία) (1): 39. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2718.
↑ Kandall, Geoffrey A. (November 2002). «Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals». The College Mathematics Journal 33 (5): 403–404. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2002-11_33_5/page/n52.

[1] Αργυρόπουλος, Ηλίας· Βλάμος, Παναγιώτης· Κατσούλης, Γεώργιος· Μαρκάτης, Στυλιανός· Σιδερής, Πολυχρόνης. «Κεφάλαιο 9ο: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β'. Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ».

[E1750-2] 1 2 Euler, Leonhard (1750). «Variae demostrationes geometriae [Διάφορα γεωμετρικά θεωρήματα]» (στα la). Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/135/.

[3] Κισκύρας, Ν. Α. (1981). «Θεωρήματα και προβλήματα για το στρεβλό τετράπλευρο». Ευκλείδης Β΄ (Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία) (1): 39. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2718.

[4] Kandall, Geoffrey A. (November 2002). «Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals». The College Mathematics Journal 33 (5): 403–404. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2002-11_33_5/page/n52.

[1]

[2]

[3]

[4]