Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο

Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ όπου οι διαγώνιες είναι κάθετες, δηλαδή ${\rm {A\Gamma }}\perp {\rm {B\Delta }}$.

Στην γεωμετρία, ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο είναι το τετράπλευρο όπου οι δύο διαγώνιές του είναι κάθετες μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα, το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ορθοδιαγώνιο ανν ${\rm {A\Gamma }}\perp {\rm {B\Delta }}$.

Ιδιότητες

• Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν ενός ορθοδιαγώνιου τετραπλεύρου είναι ορθογώνιο.

Απόδειξη  

Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν ορίζεται από τα τέσσερα μέσα των πλευρών του τετραπλέυρου. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, για τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα μέσα των πλευρών έχουμε ότι

${\rm {M_{1}M_{2}\parallel A\Gamma ,\quad M_{2}M_{3}\parallel B\Delta ,\quad M_{3}M_{4}\parallel A\Gamma \quad }}$ και $\quad {\rm {M_{4}M_{1}\parallel B\Delta }}$.

Αφού το τετράπλευρο είναι ορθοδιαγώνιο, έχουμε ότι ${\rm {A\Gamma \perp B\Delta }}$ και ${\rm {M_{1}M_{2}\perp M_{2}M_{3}}}$. Συνεπώς, το ${\rm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}}$ είναι ορθογώνιο.

• Τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

Απόδειξη  

Το ζητούμενη προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα ότι το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν είναι ορθογώνιο και συνεπώς οι διαγώνιοι του είναι ίσες.

Κύκλος των οκτώ σημείων: Σε ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο τα μέσα των πλευρών και οι προβολές τους στις απέναντι πλευρές ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

• (Κύκλος των οκτώ σημείων) Τα μέσα των πλευρών και τα ίχνη αυτών προς τις απέναντι πλευρές, ανήκουν στον ίδιο κύκλο, που έχει κέντρο το κέντρο του παραλληλογράμμου Βαρινιόν.

Απόδειξη  

Όπως αποδείχθηκε παραπάνω τα μέσα των πλευρών ${\rm {M_{1}}}$, ${\rm {M_{2}}}$, ${\rm {M_{3}}}$ και ${\rm {M_{4}}}$ ορίζουν ένα ορθογώνιο. Επομένως, ο κύκλος που παιρνάει από τα σημεία αυτά έχει κέντρο την τομή ${\rm {O}}$ των διαγωνίων του. Έστω ${\rm {Z_{1}}}$ το ίχνος του ${\rm {M_{3}}}$ στην πλευρά ${\rm {\Gamma \Delta }}$. Τότε η γωνία ${\widehat {\rm {M_{1}Z_{1}M_{3}}}}$ είναι ορθή. Από το θεώρημα του Θαλή, αφού ${\rm {M_{1}M_{3}}}$ είναι η διάμετρος του κύκλου, έχουμε ότι το σημείο ${\rm {Z_{1}}}$ ανήκει στον κύκλο.

Το θεώρημα Βραχμαγκούπτα λέει ότι αν ${\rm {IH\perp B\Gamma }}$, τότε ${\rm {AM}}={\rm {M\Delta }}$.

• (Θεώρημα Βραχμαγκούπτα) Σε ένα ορθοδιαγώνιο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ που οι κορυφές του τέμνονται κάθετα στο σημείο ${\rm {I}}$, ισχύει ότι η κάθετος από το ${\rm {I}}$ προς μία πλευρά διχοτομεί την απέναντι της.

Μετρικές σχέσεις

• Σε ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο ισχύει ότι

$\alpha ^{2}+\gamma ^{2}=\beta ^{2}+\delta ^{2}$.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {ABI}}$, ${\rm {B\Gamma I}}$, ${\rm {\Gamma \Delta I}}$ και ${\rm {\Delta AI}}$, έχουμε ότι

$\alpha ^{2}=\mathrm {AI} ^{2}+\mathrm {BI} ^{2}$,

$\beta ^{2}=\mathrm {BI} ^{2}+\mathrm {\Gamma I} ^{2}$,

$\gamma ^{2}=\mathrm {\Gamma I} ^{2}+\mathrm {\Delta I} ^{2}$,

$\delta ^{2}=\mathrm {\Delta I} ^{2}+\mathrm {AI} ^{2}$.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω, έχουμε ότι

$\alpha ^{2}+\gamma ^{2}=\mathrm {AI} ^{2}+\mathrm {BI} ^{2}+\mathrm {\Gamma I} ^{2}+\mathrm {\Delta I} ^{2}$,

και

$\beta ^{2}+\delta ^{2}=\mathrm {AI} ^{2}+\mathrm {BI} ^{2}+\mathrm {\Gamma I} ^{2}+\mathrm {\Delta I} ^{2}$.

Επομένως, συμπεραίνουμε ότι

$\alpha ^{2}+\gamma ^{2}=\beta ^{2}+\delta ^{2}$.

• Ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο αν

$\mu _{1}^{2}+\mu _{3}^{2}=\mu _{2}^{2}+\mu _{4}^{2}$,

όπου $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, $\mu _{3}$, $\mu _{4}$ οι διάμεσοι των τριγώνων ${\rm {ABP}}$, ${\rm {B\Gamma P}}$, ${\rm {\Gamma \Delta P}}$ και ${\rm {\Delta AP}}$ στην κορυφή ${\rm {P}}$.

• Ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο αν

$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$,

όπου $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{3}$, $R_{4}$ οι ακτίνες των περιγεγραμμένου κύκλου των τριγώνων ${\rm {ABP}}$, ${\rm {B\Gamma P}}$, ${\rm {\Gamma \Delta P}}$ και ${\rm {\Delta AP}}$.

• Ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο αν

${\frac {1}{\upsilon _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\upsilon _{3}^{2}}}={\frac {1}{\upsilon _{2}^{2}}}+{\frac {1}{\upsilon _{4}^{2}}}$,

όπου $\upsilon _{1}$, $\upsilon _{2}$, $\upsilon _{3}$, $\upsilon _{4}$ τα ύψη των τριγώνων ${\rm {ABP}}$, ${\rm {B\Gamma P}}$, ${\rm {\Gamma \Delta P}}$ και ${\rm {\Delta AP}}$ στην κορυφή ${\rm {P}}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθοδιαγώνιου τετραπλεύρου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των διαγωνίων του, δηλαδή

$\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \mathrm {B\Delta }$.

Απόδειξη  

Έστω ${\rm {I}}$ η τομή των διαγωνίων του. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδόν των τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων $\mathrm {ABI}$, $\mathrm {B\Gamma I}$, $\mathrm {\Gamma \Delta I}$ και $\mathrm {\Delta AI}$, δηλαδή

${\begin{aligned}\mathrm {E} &={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AI} \cdot \mathrm {BI} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {BI} \cdot \mathrm {\Gamma I} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma I} \cdot \mathrm {\Delta I} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Delta I} \cdot \mathrm {AI} \\&={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {AI} \cdot (\mathrm {BI} +\mathrm {\Delta I} )+\mathrm {\Gamma I} \cdot (\mathrm {BI} +\mathrm {\Delta I} )\right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AI} +\mathrm {\Gamma I} )\cdot (\mathrm {BI} +\mathrm {\Delta I} )\\&={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \mathrm {B\Delta } .\end{aligned}}$

Ειδικές περιπτώσεις

• Το δελτοειδές είναι ένα ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο, όπου η μία διαγώνιος είναι και άξονας συμμετρίας.
• Ο ρόμβος είναι ορθογώνιο τετράπλευρο όπου και οι δύο διαγώνιες είναι άξονες συμμετρίας (ή ισοδύναμα οι πλευρές είναι ανά δύο παράλληλες).

Δείτε επίσης

• Τετράπλευρο
• Θεώρημα Βραχμαγκούπτα

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Fraivert, David (2017). «Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals». Forum Geometricorum (17): 509-526. https://web.archive.org/web/20230327204213/https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf.