Γωνία εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο
Στη γεωμετρία, μία γωνία εγγεγραμμένη σε ένα ημικύκλιο είναι ορθή. Το θεώρημα αναφέρεται και ως θεώρημα του Θαλή.
Πιο συγκεκριμένα, αν τα , και είναι διακριτά σημεία ενός κύκλου με το να είναι διάμετρος, τότε η γωνία είναι ορθή.
Το θεώρημα είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος της εγγεγραμμένης γωνίας και αναφέρεται και αποδεικνύεται ως μέρος της 31ης πρότασης στο τρίτο βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη.[1][2] Γενικά αποδίδεται στον Θαλή, αλλά μερικές φορές αποδίδεται στον Πυθαγόρα.
Απόδειξη
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
 Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, καθώς και ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Επομένως, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες:
Επομένως,
Στο τρίγωνο έχουμε ότι το άθροισμα των γωνιών είναι άρα
|
Αντίστροφο θεωρήματος
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν η γωνία είναι ορθή, τότε υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τα τρία σημεία και έχει διάμετρο την .
 Έστω το μέσο της . Θα αποδείξουμε ότι και επομένως ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα διέρχεται από τα σημεία , και . Έστω η κάθετη στην και η κάθετη στην . Άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και επομένως (και . Επίσης, ως συμπληρωματικές γωνίες στην στα ορθογώνια τρίγωνα και . Ακόμα ως συμπληρωματικές γωνίες στην στα ορθογώνια τρίγωνα και . Επομένως, τα τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν μία πλευρά και τις δύο προκείμενες γωνίες ίσες (κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας). Επομένως, , άρα η είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο , άρα το τρίγωνο είναι και ισοσκελές με . Αυτό ολοκληρώνει την ζητούμενο. |
Ιστορία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Δεν έχει διασωθεί τίποτα από τη γραφή του Θαλή. Το έργο που έγινε στην αρχαία Ελλάδα είχε την τάση να αποδίδεται σε ανθρώπους της σοφίας χωρίς σεβασμό σε όλα τα άτομα που συμμετείχαν σε συγκεκριμένες πνευματικές κατασκευές- αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τον Πυθαγόρα. Η απόδοση τείνει να γίνεται σε μεταγενέστερο χρόνο.[3] Αναφορά στον Θαλή έγινε από τον Πρόκλο και από τον Διογένη Λαέρτιο, ο οποίος τεκμηριώνει τη δήλωση του Παμφίλα ότι ο Θαλής[4] "ήταν ο πρώτος που έγραψε σε κύκλο ένα ορθογώνιο τρίγωνο".
Οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί το γνώριζαν αυτό για ειδικές περιπτώσεις πριν το αποδείξει ο Θαλής.[5]:14 Πιστεύεται ότι ο Θαλής έμαθε ότι η γωνία που εγγράφεται σε ημικύκλιο είναι ορθή γωνία κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στη Βαβυλώνα.[6] Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τον Θαλή, επειδή οι αρχαίες πηγές αναφέρουν ότι ήταν ο πρώτος που απέδειξε το θεώρημα, χρησιμοποιώντας τα δικά του αποτελέσματα ότι οι βασικές γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με μια ευθεία γωνία (180°).
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Internet Archive· Heath, Thomas Little (1956). The thirteen books of Euclid's Elements. New York, Dover Publications. ISBN 978-0-486-60088-8.
- ↑ Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 102. ISBN 9786180052046.
- ↑ Allen, G. Donald (2000). «Thales of Miletus» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 26 Μαρτίου 2004. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2012.
- ↑ Patronis, T.· Patsopoulos, D. The Theorem of Thales: A Study of the naming of theorems in school Geometry textbooks. Patras University. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2016. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2012.
- ↑ Herrmann, Joachim· Zürcher, Erik. History of humanity: scientific and cultural development. 3. Paris London: UNESCO Routledge. ISBN 92-3-102812-X.
- ↑ Merzbach, Uta C.· Boyer, Carl B. A history of mathematics (3η έκδοση). Hoboken, N.J: Wiley. ISBN 0-470-63056-6.
