Ορθογώνιος χαρταετός

Ορθογώνιος χαρταετός ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Στην γεωμετρία, ορθογώνιος χαρταετός είναι ένας χαρταετός που είναι εγγράψιμος σε κύκλο. Ισοδύναμα είναι ένα τετράπλευρο που οι τέσσερις πλευρές του μπορούν να χωριστούν σε δύο ζεύγη από ίσες γειτονικές πλευρές, όπου οι γωνίες μεταξύ των μη-ίσων πλευρών είναι ορθές.

Ιδιότητες

Έστω ένας ορθογώνιος χαρταετός με ${\rm {AB=B\Gamma }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta =\Delta A}}$. Πέραν των ιδιοτήτων των δελτοειδών τετραπλεύρων, έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι γωνίες μεταξύ των μη ίσων πλευρών είναι ορθές, δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {\Gamma }}}=90^{\circ }$.
• Το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου είναι στο μέσο του άξονα συμμετρίας του, δηλαδή στο μέσο του ${\rm {B\Delta }}$.
• Είναι ένα αρμονικό τετράπλευρο.

Μετρικές σχέσεις

Έστω ένας ορθογώνιος χαρταετός με $\alpha ={\rm {AB=B\Gamma }}$ και $\beta ={\rm {\Gamma \Delta =\Delta A}}$.

• Οι διαγώνιοί του έχουν μήκος

${\rm {B\Delta }}={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\quad$ και $\quad {\rm {A\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$.

Απόδειξη  

Από την παραπάνω ιδιότητα έχουμε ότι το τρίγωνο ${\rm {AB\Delta }}$ είναι ορθογώνιο. Άρα εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτό το τρίγωνο έχουμε ότι

${\rm {B\Delta }}={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$.

Για τον δεύτερο τύπο, θα χρησιμοποιήσουμε ότι το εμβαδόν ενός δελτοειδούς δίνεται από το ήμισυ του γινομένου των δύο διαγωνίων, δηλαδή

${\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}{\rm {B\Delta }}\cdot {\rm {A\Gamma }}$.

Είναι επίσης το άθροισμα, των δύο ορθογωνίων τριγώνων, δηλαδή

${\rm {E}}={\rm {E}}_{\rm {AB\Delta }}+{\rm {E}}_{\rm {B\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}\alpha \cdot \beta +{\tfrac {1}{2}}\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot \beta$.

Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις και λύνοντας ως προς ${\rm {B\Delta }}$, έχουμε ότι

${\rm {B\Delta }}={\frac {2\alpha \beta }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$.

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι ίση με

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι στο μέσο της διαγωνίου ${\rm {B\Delta }}$ και τον παραπάνω τύπο για την διαγώνιο.

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου του κύκλου είναι ίση με

$r={\frac {ab}{a+b}}$.

Απόδειξη  

Κάθε δελτοειδές τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Επομένως η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου δίνεται από τον τύπο

$r={\frac {\rm {E}}{\tau }}$

όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου, δηλαδή $\tau =\alpha +\beta$.

Εμβαδόν

Έστω ένας ορθογώνιος χαρταετός με $\alpha ={\rm {AB=B\Gamma }}$ και $\beta ={\rm {\Gamma \Delta =\Delta A}}$.

• Το εμβαδόν του είναι ίσο με

${\rm {E}}=\alpha \cdot \beta$.

Απόδειξη  

Από τις παραπάνω ιδιότητες, έχουμε ότι ${\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {\Gamma }}}=90^{\circ }$. Επομένως, το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο ορθογωνίων τριγώνων

${\rm {E}}={\rm {E}}_{\rm {AB\Delta }}+{\rm {E}}_{\rm {\Gamma B\Delta }}={\tfrac {1}{2}}\alpha \beta +{\tfrac {1}{2}}\alpha \beta =\alpha \beta$.

• Το εμβαδόν δίνεται και συναρτήσει της ακτίνας $R$ του περιγεγραμμένου του κύκλου και της ακτίνας $r$ του εγγεγραμμένου του κύκλου ως εξής

${\rm {E}}=r\cdot (r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})$.

Απόδειξη  

Γράφοντας το άθροισμα $S=\alpha +\beta$ ως

$S^{2}=(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+2\alpha \beta =4R^{2}+2r(\alpha +\beta )$

δίνει το τριώνυμο

$S^{2}-2rS-4R^{2}=0$.

Λύνοντας ως προς $S$ και καθώς $S\geq 0$, λαμβάνουμε ότι

$S=r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$.

Επομένως, το εμβαδόν δίνεται από

${\rm {E}}=\alpha \cdot \beta =r\cdot S=r\cdot (r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})$.

• Από όλα τα τετράπλευρα που είναι ταυτόχρονα εγγράψιμα και περιγράψιμα σε κύκλο, με δεδομένες τις δύο ακτίνες των κύκλων, αυτό με το μέγιστο εμβαδόν είναι ο ορθογώνιος χαρταετός.

Ειδικές περιπτώσεις

• Το τετράγωνο είναι ειδική περίπτωση ορθογωνίου χαρταετού, όπου όλες οι πλευρές του είναι ίσες.

Δείτε επίσης

• Δελτοειδές