Ισοδιαγώνιο τετράπλευρο

Ισοδιαγώνιο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, με ${\rm {A\Gamma =B\Delta }}$.

Στην γεωμετρία, ισοδιαγώνιο τετράπλευρο είναι ένα κυρτό τετράπλευρο με ίσες διαγωνίους. Πιο συγκεκριμένα, το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ισοδιαγώνιο αν, ${\rm {A\Gamma =B\Delta }}$.

Ειδικές περιπτώσεις ισοδιαγωνίων τετραπλεύρων είναι τα ορθογώνια, τα τετράγωνα και τα ισοσκελή τραπέζια.

Ιδιότητες

Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν ενός ισοδιαγωνίου τετραπλεύρου είναι ρόμβος.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν του τετραπλεύρου είναι ρόμβος. Ισοδύναμα, οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του τετραπλεύρου είναι κάθετες.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Οι πλευρές του παραλληλόγραμμου Βαρινιόν ενός τετραπλεύρου είναι ίσες με το μισό των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Άρα,

($\Rightarrow$) Αν το τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο τότε όλες οι πλευρές του παραλληλόγραμμου Βαρινιόν είναι ίσες μεταξύ τους, συνεπώς είναι ρόμβος και οι διαγώνιοί του είναι κάθετες.

($\Leftarrow$) Αν το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν του τετραπλεύρου είναι ρόμβος έχει τις διαγωνίους του κάθετες. Τότε οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου είναι ίσες. Δηλαδή το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ισοδιαγώνιο$\quad \square$

Μετρικές σχέσεις

Έστω $\delta _{1},\delta _{2}$ τα μήκη των δύο διαγωνίων του και $\mu _{1},\mu _{2}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του.

• Τότε, το τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν ισχύει η σχέση,

$\delta _{1}\cdot \delta _{2}=\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τα σημεία ${\rm {E,Z,K,\Lambda }}$ τα μέσα των πλευρών του ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$ αντίστοιχα. Ονομάζουμε $\delta _{1},\delta _{2}$ τα μήκη των δύο διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {B\Delta }}$ και $\mu _{1},\mu _{2}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ${\rm {EK}}$, ${\rm {Z\Lambda }}$ που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του.

Σύμφωνα με το θεώρημα Βαρινιόν, το τετράπλευρο ${\rm {EZK\Lambda }}$ που σχηματίζουν τα μέσα των πλευρών του τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι παραλληλόγραμμο.

Σύμφωνα με τον νόμο του παραλληλογράμμου στο ${\rm {EZK\Lambda }}$ ισχύει ότι,

$\delta _{1}^{2}+\delta _{2}^{2}=2\cdot (\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2})$.

($\Rightarrow$) Υποθέτουμε ότι το ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ισοδιαγώνιο δηλαδή ισχύει $\delta _{1}=\delta _{2}$. Τότε,

$\delta _{1}^{2}+\delta _{2}^{2}=2\cdot (\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2})$

$2\cdot \delta _{1}^{2}=2\cdot (\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2})$

$\delta _{1}\cdot \delta _{2}=\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}$.

($\Leftarrow$) Αν ισχύει η σχέση $\delta _{1}\cdot \delta _{2}=\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}$, τότε

$\delta _{1}^{2}+\delta _{2}^{2}=2\cdot (\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2})$

$\delta _{1}^{2}+\delta _{2}^{2}=2\cdot \delta _{1}\delta _{2}$

$(\delta _{1}-\delta _{2})^{2}=0$

$\delta _{1}=\delta _{2}$.

Δηλαδή το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ισοδιαγώνιο

$\square$

Εμβαδόν

Σχήμα απόδειξης.

Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με $\mu _{1},\mu _{2}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του, τότε το τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν το εμβαδόν του είναι

${\rm {E}}=\mu _{1}\cdot \mu _{2}$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τα σημεία ${\rm {E,Z,K,\Lambda }}$ τα μέσα των πλευρών του ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$ αντίστοιχα. Ονομάζουμε $\delta _{1},\delta _{2}$ τα μήκη των δύο διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {B\Delta }}$ και $\mu _{1},\mu _{2}$ τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ${\rm {EK}}$, ${\rm {Z\Lambda }}$ που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του.

($\Rightarrow$) Υποθέτουμε ότι το ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ισοδιαγώνιο δηλαδή ισχύει $\delta _{1}=\delta _{2}$. Από την παραπάνω ιδιότητα, το ${\rm {EZK\Lambda }}$ είναι ρόμβος, άρα

$({\rm {EZK\Lambda )={\frac {1}{2}}EZ\cdot Z\Lambda ={\frac {1}{2}}\mu _{1}\cdot \mu _{2}}}$.

Σύμφωνα με τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου Βαρινιόν, το εμβαδόν του ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι διπλάσιο του εμβαδού του παραλληλογράμμου ${\rm {EZK\Lambda }}$. Άρα

${\rm {(AB\Gamma \Delta )=2\cdot ({\rm {EZK\Lambda )=\mu _{1}\cdot \mu _{2}}}}}$.

($\Leftarrow$) Αν ισχύει η σχέση ${\rm {(AB\Gamma \Delta )=\mu _{1}\cdot \mu _{2}}}$.

Τότε χρησιμοποιούμε το τύπο για το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm {(AB\Gamma \Delta )}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\delta _{1}^{2}\cdot \delta _{2}^{2}-(\mu _{1}^{2}-\mu _{2}^{2})^{2}}}$. και έχουμε

${\rm {{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\delta _{1}^{2}\cdot \delta _{2}^{2}-(\mu _{1}^{2}-\mu _{2}^{2})^{2}}}=\mu _{1}\cdot \mu _{2}}}$

${\rm {\delta _{1}^{2}\cdot \delta _{2}^{2}-(\mu _{1}^{2}-\mu _{2}^{2})^{2}=4\cdot \mu _{1}^{2}\cdot \mu _{2}^{2}}}$

${\rm {\delta _{1}^{2}\cdot \delta _{2}^{2}=(\mu _{1}^{2}-\mu _{2}^{2})^{2}+4\cdot \mu _{1}^{2}\cdot \mu _{2}^{2}}}$

${\rm {\delta _{1}^{2}\cdot \delta _{2}^{2}=(\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2})^{2}}}$

${\rm {\delta _{1}^{2}\cdot \delta _{2}^{2}=\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}}}$

Δηλαδή το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ισοδιαγώνιο.

$\square$

Κριτήρια ισοδιαγώνιου τετραπλεύρου

• Ένα παραλληλόγραμμο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν είναι ορθογώνιο.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ισοδιαγώνιο τότε σύμφωνα με τα κριτήρια του ορθογωνίου είναι ορθογώνιο.

($\Leftarrow$) Αντίστροφα, ένα ορθογώνιο έχει ίσες διαγωνίους, άρα είναι ισοδιαγώνιο παραλληλόγραμμο.

• Ένα τραπέζιο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν είναι ισοσκελές τραπέζιο.
• Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Απόδειξη  

Ισοσκελές τραπέζιο με τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

($\Rightarrow$) Κάθε ισοσκελές τραπέζιο έχει ίσες διαγωνίους και είναι εγγράψιμο.

($\Leftarrow$) Αν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο δηλαδή είναι ${\rm {A\Gamma =B\Delta }}$, τότε τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {A\Gamma }}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {B\Delta }}}$ είναι ίσα, άρα και τα ${\overset {\frown }{\rm {A\Delta }}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {B\Gamma }}}$ είναι ίσα.

Τότε και οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες δηλαδή ${\rm {A\Delta =B\Gamma }}$ και συνεπώς είναι και ${\rm {\Delta \Gamma ||AB}}$.

Άρα ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Ειδικές περιπτώσεις

Τα ορθογώνια, τα τετράγωνα και τα ισοσκελή τραπέζια είναι ισοδιαγώνιο.

Ορθογώνιο

Τετράγωνο

Ισοσκελές τραπέζιο

Σχέση με ορθοδιαγώνια τετράπλευρα

Υπάρχει η εξής δυϊκή σχέση με τα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα:

• Ένα τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν του είναι ορθοδιαγώνιο (δηλαδή ρόμβος).
• Ένα τετράπλευρο είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο αν το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν του είναι ισοδιαγώνιο (δηλαδή ορθογώνιο).

Ισοδύναμα,

• Ένα τετράπλευρο είναι ισοδιαγώνιο αν και μόνο αν οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του είναι κάθετες.
• Ένα τετράπλευρο είναι ορθοδιαγώνιο αν και μόνο αν οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.

Τα τετράπλευρα που είναι ισοδιαγώνια και ορθοδιαγώνια είναι ακριβώς τα τετράπλευρα των οποίων το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν είναι ένα τετράγωνο.

Δείτε επίσης

• Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο