Δελτοειδές

Κυρτό δελτοειδές (χαρταετός).

Κοίλο δελτοειδές (βέλος).

Στην γεωμετρία, δελτοειδές είναι ένα τετράπλευρο που έχει δύο (ξένα) ζεύγη ίσων γειτονικών πλευρών. Συγκεκριμένα, το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι δελτοειδές διότι έχει, ${\rm {AB=B\Gamma }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta =\Delta A}}$ .

Σε αντίθεση, το παραλληλόγραμμο έχει επίσης δύο ζεύγη ίσων πλευρών, αλλά οι ίσες πλευρές του είναι απέναντι η μία από την άλλη και όχι γειτονικές.

Το κυρτό δελτοειδές τετράπλευρο λέγεται χαρταετός, καθώς ο σκελετός ενός χαρταετού συχνά έχει αυτό το σχήμα στην απλούστερη μορφή του. Το κοίλο δελτοειδές λέγεται βέλος.

Το δελτοειδές δεν πρέπει να συγχέεται με τη δελτοειδή καμπύλη, που είναι ένα διαφορετικό γεωμετρικό σχήμα.

Ιδιότητες

Ένα τετράπλευρο είναι δελτοειδές αν και μόνο αν ισχύει μία από τις προτάσεις που ακολουθούν:

Η ευθεία της μίας διαγωνίου του είναι μεσοκάθετος της άλλης.^[1].

Απόδειξη

( $\Rightarrow$ ) Θεωρούμε το δελτοειδές ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με ${\rm {BA=B\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta \Gamma =\Delta A}}$ . Τα σημεία ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$ ισαπέχουν από τα άκρα της διαγωνίου ${\rm {A\Gamma }}$ άρα η ευθεία της διαγωνίου ${\rm {B\Delta }}$ είναι η μεσοκάθετος της ${\rm {A\Gamma }}$ .

( $\Leftarrow$ ) Θεωρούμε το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ , στο οποίο η ευθεία της μίας διαγωνίου του έστω ${\rm {B\Delta }}$ είναι η μεσοκάθετος της άλλης διαγωνίου του ${\rm {A\Gamma }}$ . Τότε είναι ${\rm {BA=B\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta \Gamma =\Delta A}}$ . Άρα το τετράπλευρο είναι δελτοειδές. $\quad \square$

Η μία διαγώνιός του διχοτομεί και τις δύο αντίστοιχες γωνίες του.^[2]

Απόδειξη

( $\Rightarrow$ ) Θεωρούμε το δελτοειδές ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με ${\rm {BA=B\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta \Gamma =\Delta A}}$ . Όπως αποδείξαμε στη προηγούμενη ιδιότητα η ευθεία της διαγωνίου ${\rm {B\Delta }}$ είναι η μεσοκάθετος της άλλης διαγωνίου ${\rm {A\Gamma }}$ , συνεπώς στα ισοσκελή τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$ η ${\rm {B\Delta }}$ είναι η μεσοκάθετος που άγεται από την κορυφή άρα είναι και διχοτόμος των γωνιών ${\hat {\mathrm {B} }}$ και ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$ .

( $\Leftarrow$ ) Θεωρούμε το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ , στο οποίο η ευθεία της μίας διαγωνίου του έστω ${\rm {B\Delta }}$ είναι και διχοτόμος των γωνιών ${\hat {\mathrm {B} }}$ και ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$ . Τότε τα τρίγωνα ${\rm {AB\Delta }}$ και ${\rm {\Gamma B\Delta }}$ είναι ίσα διότι έχουν

την ${\rm {B\Delta }}$ κοινή, και
τις προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες.

Άρα είναι ${\rm {BA=B\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta \Gamma =\Delta A}}$ . Άρα το τετράπλευρο είναι δελτοειδές. $\quad \square$

Η ευθεία της μίας διαγωνίου του είναι άξονας συμμετρίας.^[2]^[3]

Απόδειξη

Όπως αποδείξαμε στην προηγούμενη ιδιότητα η μία διαγώνιος διχοτομεί και τις δύο αντίστοιχες γωνίες. Από την ιδιότητα της διχοτόμου γνωρίζουμε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι και άξονας συμμετρίας της. Συνεπώς είναι και άξονας συμμετρίας του δελτοειδούς.

Σημείωση: Οποιοδήποτε απλό τετράπλευρο έχει έναν άξονα συμμετρίας είναι είτε δελτοειδές (όταν ο άξονας συμμετρίας είναι μία διαγώνιος) είτε ισοσκελές τραπέζιο (όταν ο άξονας συμμετρίας περνά από τα μέσα δύο πλευρών του).^{[Σημείωση 1]}^[3]

Επιπλέον,

Οι δύο εσωτερικές γωνίες ενός δελτοειδούς που είναι εκατέροθεν του άξονα συμμετρίας του είναι ίσες.
Κάθε δελτοειδές είναι ορθοδιαγώνιο.^{[Σημείωση 2]}
Κάθε δελτοειδές είναι περιγράψιμο σε κύκλο και το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου ανήκει στον άξονα συμμετρίας του.

Απόδειξη

Θεωρούμε το δελτοειδές ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με ${\rm {AB={\rm {B\Gamma }}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta =\Delta A}}$ . Από το Θεώρημα Πιτό, καθώς ${\rm {AB+\Gamma \Delta =B\Gamma +\Delta A}}$ , καταλήγουμε ότι το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο.

Κάθε δελτοειδές (που δεν είναι ρόμβος) είναι παρεγγράψιμο σε κύκλο.

Απόδειξη

Θεωρούμε το δελτοειδές ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με ${\rm {AB={\rm {B\Gamma }}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta =\Delta A}}$ . Από την γενίκευση του θεωρήματος Πιτό για παραγεγραμμένα τετράπλευρα, καθώς ${\rm {AB+\Delta A=\Gamma \Delta +B\Gamma }}$ , καταλήγουμε ότι το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο.

Χαρταετός με τον εγγεγραμμένο του κύκλο.

Βέλος με τον εγγεγραμμένο του κύκλο.

Χαρταετός με τον παρεγγεγραμμένο του κύκλο.

Βέλος με τον παρεγγεγραμμένο του κύκλο.

Μετρικές σχέσεις

Έστω ένα δελτοειδές με μήκη διαγωνίων $\delta _{1},\delta _{2}$ και μήκη πλευρων $\alpha ,\beta$ . Η ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου δίνεται από τον τύπο

\rho ={\frac {\delta _{1}\delta _{2}}{2(\alpha +\beta )}},

και η ακτίνα $\rho '$ του παρεγγεγραμμένου του κύκλου δίνεται από τον τύπο^[4]

\rho '={\frac {\delta _{1}\delta _{2}}{2|\alpha -\beta |}}

.

Απόδειξη

Το εμβαδόν ενός δελτοειδούς δίνεται από τον τύπο

{\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\delta _{1}\delta _{2}

.

Το εμβαδόν ενός περιγράψιμου τετραπλεύρου δίνεται από τον τύπο^[5]^:466

{\rm {E}}=\tau \cdot \rho

,

όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του, και $\rho$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Εξισώνοντας τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε ότι

(\alpha +\beta )\cdot \rho ={\tfrac {1}{2}}\delta _{1}\delta _{2}

,

Δηλαδή

\rho ={\frac {\delta _{1}\delta _{2}}{2(\alpha +\beta )}}

.

Αντίστοιχα, το εμβαδόν ενός παραγεγραμμένου τετραπλεύρου δίνεται από τον τύπο

{\rm {E}}=|{\rm {AB}}-{\rm {\Gamma \Delta }}|\cdot \rho '=|{\rm {\Gamma B}}-{\rm {\Delta A}}|\cdot \rho '=|\alpha -\beta |\cdot \rho '

.

Άρα

{\rm {|\alpha -\beta |\cdot \rho '}}={\tfrac {1}{2}}\delta _{1}\delta _{2}

Συνεπώς

$\rho '={\frac {\delta _{1}\delta _{2}}{2|\alpha -\beta |}}$ .

$\square$

Εμβαδόν

Όπως ισχύει γενικότερα για οποιοδήποτε ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο, το εμβαδόν ${\rm {E}}$ ενός δελτοειδούς μπορεί να υπολογιστεί ως το ήμισυ του γινομένου των μηκών των διαγωνίων του $\delta _{1}$ και $\delta _{2}$ , δηλαδή

{\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\delta _{1}\delta _{2}

.

Εναλλακτικά, εάν $\alpha$ και $\beta$ είναι τα μήκη των δύο άνισων πλευρών του και $\theta$ είναι η γωνία μεταξύ των άνισων πλευρών, τότε το εμβαδόν του είναι

{\rm {E}}=a\beta \cdot \sin {\theta }

.

Ειδικές περιπτώσεις

Λαούτο του Πυθαγόρα. Το περίβλημά του είναι ένα δελτοειδές.

Όταν ένα δελτοειδές είναι ισόπλευρο, δηλαδή και οι τέσσερις πλευρές του έχουν το ίδιο μήκος, τότε είναι ρόμβος.
Όταν ένα δελτοειδές είναι ισογώνιο, δηλαδή και οι τέσσερις γωνίες του είναι ίσες, τότε είναι τετράγωνο.
Όταν ένα δελτοειδές είναι εγγράψιμο σε κύκλο, τότε είναι η ένωση δύο ορθογωνίων τριγώνων και λέγεται ορθογώνιος χαρταετός.^[6]^[7]
Το δελτοειδές με τρεις ίσες γωνίες 108° και μία γωνία 36° σχηματίζει το κυρτό περίβλημα του λαούτου του Πυθαγόρα.^[8]

Εφαρμογές

Υπάρχουν μόνο οκτώ πολύγωνα που μπορούν πλακοστρώσουν το επίπεδο κατά τέτοιο τρόπο ώστε οποιαδήποτε πλακίδιο να αντικατοπτρίζεται σε οποιανδήποτε ακμή του με κάποιο άλλο ίδιο πλακίδιο και ένα από αυτά είναι ο ορθογώνιος χαρταετός, με γωνίες 60°, 90° και 120°. Η πλακόστρωση που παράγεται από τις αντανακλάσεις αυτές είναι η δελτοειδής τριεξαγωνική πλακόστρωση.^[9]

Ισοδιαγώνιο δελτοειδές
(εγγεγραμμένο σε τρίγωνο Ρελώ)

Από όλα τα τετράπλευρα, το σχήμα που έχει το μεγαλύτερο λόγο περιμέτρου προς διάμετρο είναι το ισοδιαγώνιο δελτοειδές με γωνίες 60°, 75°, 150°, 75°. Οι τέσσερις κορυφές του βρίσκονται στις τρεις γωνίες και σε ένα από τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου Ρελώ.^[10]^[11]

Στην μη Ευκλείδεια γεωμετρία, το τετράπλευρο του Λάμπερτ είναι ορθογώνιο δελτοειδές με τρεις ορθές γωνίες.^[12]

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Δελτοειδές

Weisstein, Eric W., "Kite" από το MathWorld.

Ξενόγλωσσα άρθρα

Josefsson, Martin (2011). «When is a tangential quadrilateral a kite?,». Forum Geometricorum (11): 165-174. https://web.archive.org/web/20230103062732/https://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201117.pdf.

Σημειώσεις

↑ Αυτά περιλαμβάνουν αντίστοιχα ως ειδικές περιπτώσεις τον ρόμβο και το ορθογώνιο, που έχουν δύο άξονες συμμετρίας το κάθε ένα και το τετράγωνο, το οποίο είναι τόσο δελτοειδές όσο και ισοσκελές τραπέζιο και έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας. Αν λάβουμε υπόψιν και τα μη-απλά τετράπλευρα, τότε πρέπει να συμπεριλάβουμε και τα αντιπαραλληλόγραμμα.
↑ Αυτό προκύπτει από την παραπάνω ιδιότητα της μεσοκαθέτου.

Παραπομπές

↑ Usiskin, Zalman· Griffin, Jennifer (2008). The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition. Information Age Publishing. σελίδες 49-52.
1 2 de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. σελίδες 16, 55. ISBN 978-0-557-10295-2.
1 2 Halsted, George Bruce (1896), «Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals», Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, σελ. 49–53, https://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49
↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), «Section 3.4: Kites», A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, σελ. 73–78, ISBN 978-1-4704-5312-1, https://books.google.com/books?id=CGDSDwAAQBAJ&pg=PA73
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ Gant, P. (1944). «A note on quadrilaterals». Mathematical Gazette (The Mathematical Association) 28 (278): 29–30. doi:10.2307/3607362. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1944-02_28_278/page/28. .
↑ De Villiers, Michael (1994), «The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals», For the Learning of Mathematics 14 (1): 11–18
↑ Darling, David (2004). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons. σελ. 260. ISBN 978-0-47166-700-1.
↑ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), «Edge tessellations and stamp folding puzzles», Mathematics Magazine 84 (4): 283–289, doi:10.4169/math.mag.84.4.283 .
↑ Ball, D.G. (1973), «A generalisation of π», Mathematical Gazette 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052
↑ Griffiths, David; Culpin, David (1975), «Pi-optimal polygons», Mathematical Gazette 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699 .
↑ Eves, Howard Whitley (1995). College Geometry. Jones & Bartlett Learning. σελ. 245. ISBN 978-0-8672-0475-9. .

[4] Αυτά περιλαμβάνουν αντίστοιχα ως ειδικές περιπτώσεις τον ρόμβο και το ορθογώνιο, που έχουν δύο άξονες συμμετρίας το κάθε ένα και το τετράγωνο, το οποίο είναι τόσο δελτοειδές όσο και ισοσκελές τραπέζιο και έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας. Αν λάβουμε υπόψιν και τα μη-απλά τετράπλευρα, τότε πρέπει να συμπεριλάβουμε και τα αντιπαραλληλόγραμμα.

[5] Αυτό προκύπτει από την παραπάνω ιδιότητα της μεσοκαθέτου.

[Usiskin-1] Usiskin, Zalman· Griffin, Jennifer (2008). The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition. Information Age Publishing. σελίδες 49-52.

[Villiers-2] 1 2 de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. σελίδες 16, 55. ISBN 978-0-557-10295-2.

[esg-3] 1 2 Halsted, George Bruce (1896), «Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals», Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, σελ. 49–53, https://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49

[6] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), «Section 3.4: Kites», A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, σελ. 73–78, ISBN 978-1-4704-5312-1, https://books.google.com/books?id=CGDSDwAAQBAJ&pg=PA73

[T57-7] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[8] Gant, P. (1944). «A note on quadrilaterals». Mathematical Gazette (The Mathematical Association) 28 (278): 29–30. doi:10.2307/3607362. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1944-02_28_278/page/28. .

[9] De Villiers, Michael (1994), «The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals», For the Learning of Mathematics 14 (1): 11–18

[10] Darling, David (2004). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons. σελ. 260. ISBN 978-0-47166-700-1.

[11] Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), «Edge tessellations and stamp folding puzzles», Mathematics Magazine 84 (4): 283–289, doi:10.4169/math.mag.84.4.283 .

[12] Ball, D.G. (1973), «A generalisation of π», Mathematical Gazette 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052

[13] Griffiths, David; Culpin, David (1975), «Pi-optimal polygons», Mathematical Gazette 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699 .

[14] Eves, Howard Whitley (1995). College Geometry. Jones & Bartlett Learning. σελ. 245. ISBN 978-0-8672-0475-9. .

[1]

[2]

[3]

[Σημείωση 1]

[Σημείωση 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]