Συμμετρία ως προς σημείο

Το σημείο

{\rm {A'}}

είναι συμμετρικό του

{\rm {A'}}

ως προς το σημείο

{\rm {O}}

.

Το τρίγωνο

{\rm {A'B'\Gamma '}}

είναι συμμετρικό του

{\rm {AB\Gamma }}

ως προς το σημείο

{\rm {O}}

.

Στην γεωμετρία, ένα σημείο ${\rm {A}}$ είναι συμμετρικό του σημείου ${\rm {A'}}$ ως προς το σημείο ${\rm {O}}$ , αν το ${\rm {O}}$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AA'}}$ . Το σημείο ${\rm {O}}$ λέγεται το κέντρο συμμετρίας των ${\rm {A}}$ και ${\rm {A'}}$ .^[1]^:82-85^[2]^:40^[3]^:44-45

Δύο γεωμετρικά σχήματα $\Sigma$ και $\Sigma '$ λέγονται συμμετρικά ως προς το σημείο ${\rm {O}}$ , αν για κάθε σημείο ${\rm {A}}$ του $\Sigma$ το συμμετρικό του ως προς το ${\rm {O}}$ ανήκει στο $\Sigma '$ και αντίστροφα.

Κέντρο συμμετρίας

Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος $\Sigma$ ονομάζεται ένα σημείο ${\rm {O}}$ για το οποίο το $\Sigma$ είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς το ${\rm {O}}$ .

Παραδείγματα

Το κέντρο ενός κύκλου είναι κέντρο συμμετρίας του.
Το κέντρο μίας έλλειψης είναι κέντρο συμμετρίας της.
Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του.
Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι κέντρο συμμετρίας του.
Κάθε σημείο μίας ευθείας είναι κέντρο συμμετρίας της. Δηλαδή η ευθεία έχει άπειρα κέντρα συμμετρίας.
Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού εξαγώνου είναι κέντρο συμμετρίας του.
Η γραφική παράσταση μίας περιττής συνάρτησης έχει ως κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Η τομή των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του.

Μία έλλειψη και το κέντρο συμμετρίας της.

Ένα κανονικό εξάγωνο και το κέντρο συμμετρίας του.

Η ημερομηνία 9.10.2016 έχει κέντρο συμμετρίας.

Ο ρήγας έχει κέντρο συμμετρίας.

Ιδιότητες

Δύο σχήματα συμμετρικά ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι ίσα.^[3]^: 44
Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας και άξονα συμμετρίας, πρέπει να έχει το κέντρο πάνω στον άξονα.
Ένα σχήμα με δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους έχει και κέντρο συμμετρίας, την τομή αυτών των αξόνων.^[3]^: 70
Δύο συμμετρικές ευθείες είναι παράλληλες.^[3]^: 45

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω ${\rm {P}}=({\rm {P}}_{x},{\rm {P}}_{y})$ και ${\rm {O}}=({\rm {O}}_{x},{\rm {O}}_{y})$ δύο σημεία του επιπέδου. Το συμμετρικό ${\rm {P'}}$ του ${\rm {P}}$ ως προς το ${\rm {O}}$ δίνεται από την εξίσωση

{\vec {\rm {P'}}}={\vec {\rm {P}}}-2\cdot ({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {O}}})=2\cdot {\vec {\rm {O}}}-{\vec {\rm {P}}}

.

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του σημείου δίνονται από

{\begin{pmatrix}{\rm {P'}}_{x}\\{\rm {P'}}_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2{\rm {O}}_{x}-{\rm {P}}_{x}\\2{\rm {O}}_{y}-{\rm {P}}_{y}\end{pmatrix}}

.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα.
↑ Altshiller-Court, Nathan (2007). College geometry: an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle (2η έκδοση). Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 9780486458052.
1 2 3 4 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα.

[2] Altshiller-Court, Nathan (2007). College geometry: an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle (2η έκδοση). Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 9780486458052.

[S73-3] 1 2 3 4 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα.

[1]

[2]

[3]