Κάθετες ευθείες

Δύο κάθετες ευθείες $xx'$ και $yy'$.

Στην γεωμετρία, δύο ευθείες που τέμνονται λέγονται κάθετες αν στο σημείο τομής σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες.

Ισοδύναμα, οι ευθείες $xx'$ και $yy'$ με σημείο τομής ${\rm {O}}$ είναι κάθετες αν ${\widehat {x{\rm {O}}y}}=90^{\circ }$. Η $xx'$ λέγεται κάθετος της $yy'$ στο ${\rm {O}}$ και συμβολίζεται ως $xx'\perp yy'$.

Ιδιότητες

• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$, τότε $\varepsilon _{2}\perp \varepsilon _{1}$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Από ένα σημείο ${\rm {P}}$ υπάρχει μοναδική κάθετος σε μία ευθεία ${\rm {\varepsilon }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει κάθετος από το σημείο ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\varepsilon$. Θεωρούμε την ευθεία $\varepsilon$ και το σημείο ${\rm {P}}$ εκτός της ευθείας. Επάνω στην ευθεία παίρνουμε τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ και στο ημιεπίπεδο που δεν βρίσκεται το ${\rm {P}}$ χαράζουμε την ημιευθεία ${\rm {A}}y$ τέτοια ώστε ${\widehat {\rm {PAB}}}={\widehat {{\rm {BA}}y}}$ και επί της ${\rm {A}}y$ το σημείο ${\rm {P'}}$ τέτοιο ώστε ${\rm {AP'=AP}}$. Έστω ${\rm {O}}$ το σημείο τομής της $\varepsilon$ με την ${\rm {PP'}}$. Από τα ίσα τρίγωνα ${\rm {PAO}}$ και ${\rm {P'AO}}$ προκύπτει ότι είναι ${\widehat {\rm {POA}}}={\widehat {\rm {P'OA}}}$ και επειδή είναι παραπληρωματικές είναι ορθές. Αποδείξαμε λοιπόν ότι από το σημείο ${\rm {P}}$ εκτός της ευθείας $\varepsilon$ άγεται κάθετος.

Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλη κάθετος από το σημείο ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\varepsilon$.

Πράγματι αν υποθέσουμε ότι η ${\rm {PO'}}$ είναι μία δεύτερη κάθετη από το ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\varepsilon$ και στη προέκταση της ${\rm {PO'}}$ πάρουμε το σημείο ${\rm {P''}}$ τέτοιο ώστε ${\rm {PO'=O'P''}}$ τότε από τα ίσα τρίγωνα ${\rm {PAO'}}$ και ${\rm {P''AO'}}$ προκύπτει ότι ${\widehat {\rm {P''AO'}}}={\widehat {\rm {PAB}}}$ αλλά είναι και ${\widehat {\rm {PAB}}}={\widehat {{\rm {BA}}y}}$ συνεπώς ${\widehat {\rm {P''AO'}}}={\widehat {{\rm {BA}}y}}$ δηλαδή η ημιευθεία ${\rm {AP''}}$ συμπίπτει με την ${\rm {AP'}}$. Από τα παραπάνω ίσα τρίγωνα προκύπτει ότι ${\rm {AP''=AP}}$ και επειδή ${\rm {AP'=AP}}$ θα είναι και ${\rm {AP'=AP''}}$. Συνεπώς το σημείο ${\rm {P'}}$ ταυτίζεται με το σημείο ${\rm {P''}}$ δηλαδή η ${\rm {PO'}}$ ταυτίζεται με την ${\rm {PO}}$. Άρα η κάθετος από το σημείο ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\epsilon$ είναι μία και μόνο.$\quad \square$

• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{3}\perp \varepsilon _{2}$ και επιπλέον είναι $\varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{3}$ τότε $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{3}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Έστω οι ευθείες $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}$ τέτοιες ώστε, $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{3}\perp \varepsilon _{2}$. Υποθέτουμε ότι οι ευθείες $\varepsilon _{1},\varepsilon _{3}$ δεν είναι παράλληλες, τότε θα τέμνονται σε ένα σημείο έστω ${\rm {A}}$. Από το σημείο ${\rm {A}}$ άγονται λοιπόν, οι δύο ευθείες $\varepsilon _{1},\varepsilon _{3}$ με $\varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{3}$, κάθετες προς την $\varepsilon _{2}$, πράγμα άτοπο από την προηγούμενη ιδιότητα. Συνεπώς οι ευθείες $\varepsilon _{1},\varepsilon _{3}$ είναι παράλληλες.$\quad \square$

• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}$, τότε $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{3}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Έστω οι ευθείες $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}$ και η $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ στο σημείο ${\rm {A}}$ της $\varepsilon _{2}$. Η ευθεία $\varepsilon _{1}$ δεν είναι παράλληλη στην $\varepsilon _{3}$, καθώς θα έπρεπε να είναι παράλληλη και στην $\varepsilon _{2}$ (ενώ είναι κάθετη σε αυτή). Έστω ${\rm {B}}$ το σημείο τομής των $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{3}$.

Η $\varepsilon _{1}$ είναι κάθετη στην $\varepsilon _{3}$ διότι αν δεν ήταν τότε από το σημείο ${\rm {B}}$ μπορούμε να φέρουμε την $\varepsilon _{4}$ κάθετη στην $\varepsilon _{1}$ η οποία $\varepsilon _{4}$ θα είναι παράλληλη στην $\varepsilon _{2}$ (από την προηγούμενη ιδιοτητα). Δηλαδή από το σημείο ${\rm {B}}$ θα διέρχονται δύο παράλληλες προς την $\varepsilon _{2}$ πράγμα άτοπο (από το Αξίωμα παραλληλίας). Συνεπώς η $\varepsilon _{1}$ είναι κάθετη στην $\varepsilon _{3}$.$\quad \square$

• Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές κάθετες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές.

Κάθετος από σημείο προς ευθεία

Προβολή ${\rm {A'}}$ του σημείου ${\rm {A}}$ στην ευθεία $\varepsilon$.

Προβολή ${\rm {A'B'}}$ του ευθύγραμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ στην ευθεία $\varepsilon$.

Έστω μία ευθεία $\varepsilon$ και ένα σημείο ${\rm {A}}$ εξωτερικό αυτής. Το σημείο τομής της καθέτου από το ${\rm {A}}$ στην $\varepsilon$ λέγεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή (ή απλώς προβολή) του ${\rm {A}}$ στην $\varepsilon$.

Ορθή προβολή (ή απλώς προβολή) ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ στην ευθεία $\varepsilon$ λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της $\varepsilon$ το οποίο ορίζεται από τις προβολές των άκρων του ${\rm {AB}}$ πάνω στην $\varepsilon$.

Ιδιότητα

• Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας, φέρουμε κάθετη και πλάγιες προς την ευθεία, τότε η κάθετη είναι μικρότερη από κάθε πλάγια.

Δηλαδή, έστω η ευθεία $\varepsilon$ και το σημείο ${\rm {A}}$ εκτός της $\varepsilon$. Από το ${\rm {A}}$ φέρνουμε την κάθετο προς την $\varepsilon$ η οποία την τέμνει στο σημείο ${\rm {B}}$. Τότε για οποιοδήποτε σημείο ${\rm {\Gamma \neq B}}$ της $\varepsilon$, ισχύει ότι ${\rm {AB<A\Gamma }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Προεκτείνουμε την ${\rm {AB}}$ κατά ίσο τμήμα ${\rm {BA'}}$ και ενώνουμε το σημείο ${\rm {\Gamma }}$ με το ${\rm {A'}}$. Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {A\Gamma B}}$ και ${\rm {A'\Gamma B}}$ έχουν:

• ${\rm {AB=BA'}}$,
• Την ${\rm {B\Gamma }}$ κοινή πλευρά.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, ${\rm {A\Gamma =\Gamma A'}}$.

Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ${\rm {A\Gamma A'}}$ έχουμε ότι:

${\rm {AA'<A\Gamma +\Gamma A'}}$

${\rm {2\cdot AB<2\cdot A\Gamma }}$

${\rm {AB<A\Gamma }}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι, αν από ένα σημείο εκτός ευθείας, φέρουμε κάθετη και πλάγιες προς την ευθεία, τότε η κάθετη είναι μικρότερη από κάθε πλάγια.$\quad \square$

Κατασκευή

Κατασκευή καθέτου από το σημείο ${\rm {A}}$ στην ευθεία $\varepsilon$.

Έστω μία ευθεία $\varepsilon$ και ένα σημείο ${\rm {A}}$ εκτός αυτής. Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ${\rm {A}}$ και είναι κάθετη στην $\varepsilon$ είναι η ακόλουθη:

1. Χαράζουμε έναν κύκλο με κέντρο το ${\rm {A}}$ και ακτίνα μεγαλύτερη από την απόσταση του ${\rm {A}}$ από το $\varepsilon$.
2. Έστω ${\rm {B,\Gamma }}$ τα σημεία τομής του ${\rm {B}}$ με την $\varepsilon$.
3. Με την ίδια ακτίνα χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Gamma }}$.
4. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται στο ${\rm {A}}$ και σε ένα άλλο σημείο έστω ${\rm {\Delta }}$.
5. Η ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {A}}$ και το ${\rm {\Delta }}$ είναι η (μοναδική) κάθετος από το ${\rm {A}}$ στην $\varepsilon$.

Σημείωση: Το κοινό σημείο της ${\rm {A\Delta }}$ με την $\varepsilon$, έστω ${\rm {A'}}$, είναι η προβολή του ${\rm {A}}$ στην $\varepsilon$.

Αναλυτική γεωμετρία

Κλίσεις κάθετων ευθειών

Δύο ευθείες με εξισώσεις

$y=\lambda _{1}x+\beta _{1}\quad (\varepsilon _{1})$,

και

$y=\lambda _{2}x+\beta _{2}\quad (\varepsilon _{2})$,

είναι κάθετες ανν $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=-1$.

Εξίσωση κάθετης διερχόμενης από σημείο

Έστω ένα σημείο ${\rm {P}}=(x_{0},y_{0})$ και μία ευθεία $(\varepsilon )$ με εξίσωση

$y=\lambda x+\beta \qquad (\varepsilon )$.

Η κάθετη από το ${\rm {P}}$ στην $(\varepsilon )$ είναι η ευθεία $(\zeta )$ με εξίσωση

$y=-{\frac {1}{\lambda }}\cdot (x-x_{0})+y_{0}\qquad (\zeta )$.

Ειδικές περιπτώσεις

Μεσοκάθετος

Η μεσοκάθετος $\varepsilon$ του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$.

Η μεοσκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ${\rm {AB}}$. Έχει την ιδιότητα ότι όλα τα σημεία της ισαπέχουν από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$.

Σε ένα τρίγωνο

Το ύψος $\upsilon _{\rm {A}}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\rm {A}}$.

• Σε ένα τρίγωνο, το τμήμα της κάθετης από μία κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά, ονομάζεται ύψος του τριγώνου.

Οι ευθείες συντρέχουν ανν το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.

• Το θεώρημα Καρνό δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

Γενικεύσεις

Το εσωτερικό γινόμενο γενικεύει την έννοια της καθετότητας. Σε τρεις διαστάσεις χώρο, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}$, ορίζεται ως εξής

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}|\cdot |{\vec {v}}|\cdot \cos \vartheta$,

όπου $\vartheta$ η γωνία μεταξύ των ${\vec {u}}$ και ${\vec {v}}$. Επομένως, δύο διανύσματα είναι κάθετα ανν ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$ (καθώς $\cos 90^{\circ }=0$).

Πιο γενικά, σε έναν διανυσματικό χώρο $V$ με εσωτερικό γινόμενο $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, δύο διανύσματα ${\vec {u}},{\vec {v}}$ είναι κάθετα αν $\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle =0$.

Δείτε επίσης

• Ευθεία
• Παράλληλες ευθείες
• Ύψος τριγώνου