Ισοδύναμα σχήματα

Ένας κύκλος και ένα ισοδύναμο τετράγωνο.

Στην επιπεδομετρία, δύο σχήματα είναι ισοδύναμα (ή ισεμβαδικά) αν έχουν ίσο εμβαδόν.

Στην στερεομετρία, δύο στερεά λέγονται ισοδύναμα αν έχουν ίσο όγκο.

Παραδείγματα

• Όλα τα ίσα σχήματα είναι και ισοδύναμα.
• Ένας κύκλος με ακτίνα $r=1$ και ένα τετράγωνο με πλευρά ${\sqrt {\pi }}$ είναι ισοδύναμα (καθώς το εμβαδόν τους είναι $\pi$).

Δύο παραλληλόγραμμα με το ίδιο εμβαδόν.

• Δύο παραλληλόγραμμα με μία πλευρά κοινή και την απέναντί της στην ίδια παράλληλο είναι ισοδύναμα.

Κατασκευή ισοδύναμων σχημάτων

Μετατροπή παραλληλογράμμου σε ισοδύναμο ορθογώνιο.

Μετατροπή ορθογωνίου σε ισοδύναμο τρίγωνο.

Ένα κοινό πρόβλημα στην γεωμετρία είναι δοθέντος ενός γεωμετρικού σχήματος, η κατασκευή ενός άλλου ισοδύναμου με κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες.

Για παράδειγμα, το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου ζητάει την κατασκευή ενός τετραγώνου (με κανόνα και διαβήτη) που έχει ίσο εμβαδόν με έναν δοσμένο κύκλο. Το πρόβλημα αυτό απασχόλησε τους μαθηματικούς από την Αρχαία Ελλάδα, και τελικά το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν απέδειξε ότι μία τέτοια κατασκευή είναι αδύνατη.

Σε αντίθεση με τον τετραγωνισμό του κύκλου, κάθε κυρτό πολύγωνο μπορεί να τετραγωνιστεί, δηλαδή να κατασκευαστεί ισοδύναμο τετράγωνο. Επίσης κάθε κυρτό πολύγωνο μπορεί επίσης να τριγωνιστεί.

Πιο συγκεκριμένα, ισχύουν τα παρακάτω:

• Για κάθε πολύγωνο με $n$ πλευρές (για $n\geq 4$) μπορεί να κατασκευαστεί ένα ισοδύναμο πολύγωνο με $n-1$ πλευρές.

Απόδειξη  

Μετατροπή πολυγώνου σε ισοδύναμο με ένα λιγότερο σημείο.

Έστω ένα πολύγωνο ${\rm {A}}_{1}{\rm {A}}_{2}\ldots {\rm {A}}_{n}$. Θα κατασκευάσουμε ένα πολύγωνο ${\rm {A}}_{1}{\rm {A}}_{2}\ldots {\rm {A}}_{n-2}{\rm {A}}_{n-1}'$ με ίσο εμβαδόν.

Φέρνουμε την παράλληλη από το ${\rm {A}}_{n-1}$ στο ${\rm {A}}_{n-2}{\rm {A}}_{n}$ και έστω ${\rm {A}}_{n-1}'$ η τομή της με την ${\rm {A}}_{1}{\rm {A}}_{n}$. Τότε τα τρίγωνα ${\rm {A}}_{n-2}{\rm {A}}_{n-1}{\rm {A}}_{n}$ και ${\rm {A}}_{n-2}{\rm {A}}_{n-1}'{\rm {A}}_{n}$ είναι ισοδύναμα, καθώς έχουν την ίδια βάση και ίσο ύψος (καθώς ${\rm {A}}_{n-2}{\rm {A}}_{n}\parallel {\rm {A}}_{n-1}{\rm {A}}_{n-1}'$).

Επομένως, τα πολύγωνα ${\rm {A}}_{1}{\rm {A}}_{2}\ldots {\rm {A}}_{n}$ και ${\rm {A}}_{1}{\rm {A}}_{2}\ldots {\rm {A}}_{n-2}{\rm {A}}_{n-1}'{\rm {A}}_{n}$ είναι ισοδύναμα. Τέλος, καθώς τα σημεία ${\rm {A}}_{n-1}',{\rm {A}}_{n},{\rm {A}}_{1}$ είναι συνευθειακά αυτά είναι ισοδύναμα και με το πολύγωνο ${\rm {A}}_{1}{\rm {A}}_{2}\ldots {\rm {A}}_{n-2}{\rm {A}}_{n-1}'$.

• Για κάθε πολύγωνο με $n$ πλευρές, μπορεί να κατασκευαστεί ένα ισοδύναμο τρίγωνο.

Απόδειξη  

Ξεκινώντας από ένα πολύγωνο ${\rm {A}}_{1}\ldots {\rm {A}}_{n}$ και εφαρμόζοντας την παραπάνω κατασκευή $n-3$ φορές, καταλήγουμε σε ένα τρίγωνο που είναι ισοδύναμο με το αρχικό πολύγωνο.

• Για κάθε τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ισοδύναμο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη  

Κατασκευή ορθογωνίου ισοδύναμο σε τρίγωνο.

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta }}$ το ύψος του. Το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {B\Gamma }}\cdot {\rm {A\Delta }}$.

Κατασκευάζουμε το μέσο του ${\rm {M}}$ και την παράλληλη $\varepsilon$ που διέρχεται από το ${\rm {M}}$ προς το ${\rm {B\Gamma }}$. Φέρνουμε τις προβολές ${\rm {B'}}$ και ${\rm {\Gamma '}}$ των ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ αντίστοιχα στην $\varepsilon$.

Το ορθογώνιο ${\rm {B\Gamma \Gamma 'B'}}$ έχει εμβαδόν ίσο με

${\frac {1}{2}}{\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {B\Gamma }}$,

συνεπώς τα δύο σχήματα είναι ισοδύναμα.

$\square$

• Για κάθε ορθογώνιο μπορεί να κατασκευαστεί ισοδύναμο τετράγωνο.

Απόδειξη  

Κατασκευή τετραγώνου ${\rm {\Theta ZIK}}$ ισοδύναμου με ορθογώνιο με πλευρές $x$ και $y$.

Έστω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με ${\rm {AB}}=x$ και ${\rm {B\Gamma }}=y$. Κατασκευάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {EZH}}$ με ${\rm {EZ}}=x$ και ${\rm {ZH}}=y$, καθώς και το ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του ${\rm {EH}}$. Φέρνουμε την ${\rm {\Theta Z}}$ κάθετη στο ${\rm {EH}}$. Από το θεώρημα του Θαλή το τρίγωνο ${\rm {EH\Theta }}$ είναι ορθογώνιο και ${\rm {\Theta Z}}={\sqrt {xy}}$.

Συνεπώς, το τετράγωνο ${\rm {\Theta ZIK}}$ με πλευρά ${\rm {\Theta Z}}$ είναι ισοδύναμο με το ορθογώνιο.

• Για κάθε τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ισοδύναμο τετράγωνο.

Απόδειξη  

Συνδυάζοντας τις παραπάνω δύο κατασκευές μπορούμε να κατασκευάσουμε αρχικά ένα ισοδύναμο ορθογώνιο και μετά ένα ισοδύναμο τετράγωνο.

• Για κάθε πολύγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ισοδύναμο τετράγωνο.

Απόδειξη  

Για ένα δοσμένο πολύγωνο, κατασκευάζουμε ένα ισοδύναμο τρίγωνο και έπειτα ένα τετράγωνο ισοδύναμο σε αυτό.

Δείτε επίσης

• Ισοδύναμα τρίγωνα
• Ίσα πολύγωνα