Στερεό εκ περιστροφής

Παράδειγμα στετερου που προκύπτει από την περιστροφή μίας καμπύλης γυρω από μία ευθεία.

Στην στερεομετρία, στερεό εκ περιστροφής είναι ένα στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος γύρω από μία ευθεία. Η ευθεία αυτή ονομάζεται και άξονας.

Ειδικές περιπτώσεις

Πολλά από τα κοινά στερεά είναι στερεά που προκύπτουν από την περιστροφή γεωμετρικών σχημάτων. Για παράδειγμα,

• η σφαίρα προκύπτει από την περιστροφή ενός ημικυκλίου γύρω από την διάμετρό του,
• ο κύλινδρος προκύπτει από την περιστροφή ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου γύρω από μία από τις πλευρές του,
• ο κώνος προκύπτει από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μία από τις κάθετες πλευρές του,
• o κόλουρος κώνος προκύτπτει από την περιστροφή ενος ορθογώνιου τραπεζίου, γύρω από την μη-παράλληλη πλευρά που είναι κάθετη στις βάσεις, και
• ο τόρος προκύπτει από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από μία ευθεία.

Σφαίρα

Κύλινδρος

Κώνος

Κόλουρος κώνος

Τόρος

Ιδιότητες

• Το κέντρο βάρους του στερεού βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής.
• Κάθε επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα περιστροφής είναι επίπεδο συμμετρίας του σχήματος.

Εμβαδόν επιφάνειας

(Θεώρημα Πάππου) Αν $\ell$ είναι η περίμετρος του σχήματος που περιστρέφεται, τότε το στερεό έχει εμβαδόν επιφάνειας ίσο με

${\rm {E}}=\ell \cdot (2\pi d)$,

όπου $d$ η απόσταση του κέντρου βάρους της περιφέρειας του σχήματος που περιστρέφεται από τον άξονα περιστροφής.

Όγκος

(Θεώρημα Πάππου) Αν ${\rm {E}}$ το εμβαδόν του σχήματος που περιστρέφεται, τότε το στερεό έχει όγκο ίσο με

${\rm {V}}={\rm {E}}\cdot (2\pi d)$,

όπου $d$ η απόσταση του κέντρου βάρους του σχήματος (όχι μόνο της περιφέρειάς του) που περιστρέφεται από τον άξονα περιστροφής.

Παραμετρικές συντεταγμένες

Όλα τα τρισδιάστατα στερεά και επιφάνειες που παράγονται από περιστροφή δισδιάστατης συνάρτησης μπορούν να διατυπωθούν αλγεβρικά στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων.

Έστω η δισδιάστατη καμπύλη με παραμετρική μορφή $(x(t),y(t))$ για την παράμετρο $t\in [a,b]$. Τότε η περιστροφή της καμπύλης γύρω από τον άξονα $x$ έχει παραμετρική εξίσωση

$x(u,v)=x(u)$

$y(u,v)=y(u)\cdot \cos(v)$

$z(u,v)=y(u)\cdot \sin(v)$

για κάθε $u\in [a,b]$ και $v\in [0,2\pi )$. Διαισθητικά η παράμετρος $v$ είναι η γωνία περιστροφής γύρω από τον άξονα, και οι όροι $y(u,v)$ και $z(u,v)$ είναι τέτοιοι ώστε $y(u,v)^{2}+z(u,v)^{2}=y(u)$>

Με παρόμοιο τρόπο παράγονται συναρτήσεις στερεών από περιστροφή γύρω από άλλους άξονες η υπό δοσμένη γωνία.

Παράδειγμα

Στερεο που προκύπτει από την περιστροφή ημιτονοειδούς καμπύλης.

Για παράδειγμα, για την συνάρτηση $y=4+2\sin(x)$, η περιστροφή της γύρω από τον άξονα των $x$ έχει την παραμετρική μορφή

$x(u,v)=t$

$y(u,v)=(4+2\sin(t))\cdot \cos(v)$

$z(u,v)=(4+2\sin(t))\cdot \sin(v)$

για κάθε $t\in \mathbb {R}$ και $v\in [0,2\pi )$