Θεώρημα κέντρου βάρους του Πάππου

Το θεώρημα καθώς εφαρμόζεται σε έναν ανοικτό κύλινδρο, έναν κώνο και μια σφαίρα για να ληφθεί το εμβαδόν της επιφανείας τους. Τα κέντρα βάρους βρίσκονται σε απόσταση a (με κόκκινο χρώμα) από τον άξονα περιστροφής.

Στη στερεομετρία, το θεώρημα κέντρου βάρους του Πάππου, που είναι επίσης γνωστό και ως θεώρημα του Πάππου ή θεώρημα του Γκούλντιν, ή θεώρημα των Πάππου–Γκούλντιν, αφορά τα δύο σχετικά θεωρήματα που ασχολούνται με το εμβαδόν και τον όγκο των επιφανειών και των στερεών εκ περιστροφής.

Το θεώρημα αποδίδεται στον Πάππο τον Αλεξανδρέα και εξίσου στον Πολ Γκούλντιν (Paul Guldin).

Πρώτο θεώρημα

Το πρώτο θεώρημα δηλώνει ότι το εμβαδόν ${\rm {E}}$ της επιφανείας εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή μιας επίπεδης καμπύλης $C$ γύρω από έναν άξονα που βρίσκεται εκτός της $C$ και στο ίδιο επίπεδο με αυτήν, είναι ίση με

$A=\ell \cdot (2\pi d)$,

όπου $\ell$ είναι το μήκος της $C$ και $d$ η απόσταση του κέντρου βάρους της από τον άξονα.

Απόδειξη  

Έστω $(x(t),y(t))$ μία παραμετροποίηση της καμπύλης $C$, όπου $y(t)$ η απόσταση του σημείο της καμπύλης από τον άξονα. Η απόσταση του κέντρου βάρους της καμπύλης από τον άξονα δίνεται από τον τύπο

$d={\frac {1}{\ell }}\cdot \int _{C}y(t)\,dt$.

Χωρίζοντας την επιφάνεια εκ περιστροφής σε απειροελάχιστους κυλίνδρους με ακτίνα $y(t)$ και ύψος $dt$ έχουμε ότι το εμβαδόν του κάθε κυλίνδρου είναι $2\pi y(t)dt$. Επομένως, το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας είναι ίσο με

${\rm {E}}=\int _{C}2\pi y(t)\,dt=2\pi \cdot \int _{C}y(t)\,dt=\ell \cdot (2\pi d)$,

που είναι το ζητούμενο.

Παράδειγμα 1ο: Τόρος

Σε έναν τόρο με ελάσσονα ακτίνα $r$ και μείζονα ακτίνα $R$, η καμπύλη είναι ένας κύκλος, επομένως το κέντρο του είναι και το κέντρο βάρους του. Δηλαδή, $d=R$ και $\ell =2\pi r$. Συνεπώς, από το παραπάνω θεώρημα

${\rm {E}}=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.\,$

Παράδειγμα 2ο: Κύλινδρος

Σε έναν κύλινδρο με ακτίνα $\rho$ και ύψος $\upsilon$, η καμπύλη περιστροφής είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο στον άξονα περιστροφής, επομένως το κέντρο βάρος του είναι το μέσο του, δηλαδή $d=\rho$ και $\ell =\upsilon$. Επομένως,

${\rm {E}}=\upsilon \cdot (2\pi \rho )=2\pi \rho \upsilon$.

Παράδειγμα 3ο: Κώνος

Σε έναν κώνο με ακτίνα $\rho$ και ύψος $\upsilon$, η καμπύλη περιστροφής είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα με ένα άκρο πάνω στον άξονα περιστροφής, επομένως το κέντρο βάρος του είναι το μέσο του, δηλαδή $d=\rho /2$ και $\ell ={\sqrt {\rho ^{2}+\upsilon ^{2}}}$. Επομένως,

${\rm {E}}={\sqrt {\rho ^{2}+\upsilon ^{2}}}\cdot (2\pi \rho /2)=\pi \rho {\sqrt {\rho ^{2}+\upsilon ^{2}}}$.

Δεύτερο θεώρημα

Το δεύτερο θεώρημα δηλώνει ότι ο όγκος $V$ ενός στερεού εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος $\Sigma$ γύρω από έναν εξωτερικό άξονα, ειναι ίσος με

$V={\rm {E}}\cdot (2\pi d)$,

όπου ${\rm {E}}$ είναι το εμβαδόν του $\Sigma$ και $d$ είναι η απόσταση του κέντρου βάρους του $\Sigma$ από τον άξονα.

Απόδειξη  

Έστω ένα επίπεδο σχήμα $\Sigma$ που ορίζεται ως το σύνολο σημείων μεταξύ δύο συναρτήσεων $f,g$, δηλαδή

$\Sigma =\{(x,y):f(x)\leq y\leq g(x)\}$,

στο σύστημα συντεταγμένων όπου ο $xx'$ είναι ο άξονας περιστροφής και ο $y$ είναι μία οποιαδήποτε ευθεία κάθετη σε αυτόν.

Άρα η απόσταση του κέντρου βάρους του ${\rm {\Sigma }}$ από τον άξονα δίνεται από τον τύπο

$d={\frac {1}{\rm {E}}}\int _{C}(f(x)+g(x))/2\cdot (f(x)+g(x))\,dx={\frac {1}{\rm {E}}}\int _{C}(f(x)+g(x))^{2}/2\,dx$.

Χωρίζοντας το στερεό εκ περιστροφής σε απειροελάχιστους κυλίνδρους με ακτίνα $r=(f(x)+g(x))/2$ και ύψος $dt$ έχουμε ότι ο όκγος του κάθε κυλίνδρου είναι $\pi r^{2}dt$. Επομένως, το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας είναι ίσο με

${\rm {V}}=\int _{C}\pi r^{2}\,dt={\rm {E}}\cdot (2\pi d)$,

που είναι το ζητούμενο.

Παράδειγμα 1ο: Τόρος

Σε έναν τόρο με ελάσσονα ακτίνα $r$ και μείζονα ακτίνα $R$, η καμπύλη είναι ένας κύκλος, επομένως το κέντρο του είναι και το κέντρο βάρους του. Δηλαδή, ${\rm {E}}=\pi r^{2}$ και $d=R$. Συνεπώς, από το παραπάνω θεώρημα

${\rm {V}}=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}$.

Παράδειγμα 2ο: Κύλινδρος

Σε έναν κύλινδρο με ακτίνα $\rho$ και ύψος $\upsilon$, το σχήμα που περιστρέφεται είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο του οποίου η μία πλευρά ανήκει στον άξονα. Το ορθογώνιο έχει εμβαδόν ${\rm {E}}=\rho \cdot \upsilon$ και το κέντρο βάρος του ορθογωνίου του απέχει $d=\rho /2$ από τον άξονα. Επομένως,

${\rm {V}}=(\rho \cdot \upsilon )\cdot (2\pi \rho /2)=\pi \cdot \rho ^{2}\cdot \upsilon$.

Παράδειγμα 3ο: Κώνος

Σε έναν κώνο με ακτίνα $\rho$ και ύψος $\upsilon$, το σχήμα που περιστρέφεται είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία κάθετη πλευρά πάνω στον άξονα περιστροφής. επομένως το κέντρο βάρος του απέχει $d=\rho /3$ από τον άξονα και ${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\rho \cdot \upsilon$. Επομένως,

${\rm {V}}={\frac {1}{2}}\rho \cdot \upsilon ={\frac {1}{3}}\pi \cdot \rho ^{3}\cdot \upsilon$.

Γενικεύσεις

Το θεώρημα, υπό κατάλληλες συνθήκες, μπορεί να γενικευθεί για αυθαίρετες καμπύλες και σχήματα.

Δείτε επίσης

• Στερεό εκ περιστροφής
• Επιφάνεια εκ περιστροφής

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Pappus's Centroid Theorem" από το MathWorld.